高中数学

GAO ZHONG SHU XUE

精华提炼记忆宝典

JING HUA TI LIAN JI YI BAO DIAN
开启成功之门钥匙有三
其一：勤奋的精神；
其二：科学的方法；
其三：良好的心态。
FIGHTING

使用说明

这是一本「翻得快、记得住」的高中数学便携手册。每个知识点被压缩成一张独立卡片， 编号与原书一致，页脚标注原书页码，方便与原版对照查阅。

目 录

必修第一册 157 条
第一章 集合与常用逻辑用语 P6 原书 P1
第二章 一元二次函数、方程和不等式 P15 原书 P7
第三章 函数的概念与性质 P21 原书 P12
第四章 指数函数与对数函数 P35 原书 P21
第五章 三角函数 P47 原书 P28
必修第二册 123 条
第六章 平面向量及其应用 P64 原书 P39
第七章 复数 P81 原书 P49
第八章 立体几何初步 P85 原书 P51
第九章 统计 P112 原书 P64
第十章 概率 P118 原书 P68
选择性必修第一册 88 条
第一章 空间向量与立体几何 P126 原书 P72
第二章 直线和圆的方程 P133 原书 P76
第三章 圆锥曲线的方程 P144 原书 P83
选择性必修第二册 69 条
第四章 数列 P164 原书 P96
第五章 一元函数的导数及其应用 P174 原书 P103
选择性必修第三册 43 条
第六章 计数原理 P195 原书 P115
第七章 随机变量及其分布 P200 原书 P118
第八章 成对数据的统计分析 P207 原书 P123
变式参考答案 附
自测清单 P213
关键词索引 P222
COMPULSORY · 必修第一册

必修第一册

共 157 条知识点，5 章。

01

第一章 集合与常用逻辑用语

23 条 · 原书 P1
1

集合的相关概念

(1)元素：我们把研究对象统称为元素，常用小写拉丁字母 表示.
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集），常用大写拉丁字母 表示.
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的.
(4)集合的分类：按集合中元素的个数多少分为有限集、无限集.
(5)空集：不含任何元素的集合，记作 ：
2

集合中元素的三个特征

(1)确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的，不能确定的对象就不能构成集合.
(2)互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.
(3)无序性：构成集合的元素无先后顺序之分.
3

元素与集合的关系

(1) 属于集合 ，记作 ；
(2) 不属于集合 ，记作 .
4

常用的数集及其记法

(1)全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；
(2)全体正整数组成的集合称为正整数集，记作 或
(3)全体整数组成的集合称为整数集，记作 ；
(4)全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 Q;
(5)全体实数组成的集合称为实数集，记为R.
5

集合的表示方法

(1)列举法：把集合中的所有元素一一列举，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法.
(2)描述法：设 是一个集合，把集合 中所有具有共同特征 的元素 所组成的集合表示为 的方法.
其中，“x”是集合中元素的代表形式，“A”是x的范围，“ ”是集合中元素x所具有共同特征，竖线可用冒号“：”或分号“；”代替但不可省略.
【提醒】一定要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型是数集、点集还是其他类型集合．如：
①集合 表示函数 的定义域；
②集合 表示函数 的值域；
③集合 表示函数 图象上的点；
④集合 表示集合只有一个元素 .
(3)Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合.
6

区间的概念

(1)满足不等式 的实数 的集合叫做闭区间，表示为 .
(2)满足不等式 的实数 的集合叫做开区间，表示为 .
(3)满足不等式 的实数 的集合叫做左闭右开区间，表示为 .
(4)满足不等式 的实数 的集合叫做左开右闭区间，表示为 .
(5)满足不等式 的实数 的集合分别表示为 .
(6)满足不等式 的实数 的集合分别表示为 .
(7)实数 R 用区间表示为 .
【提醒】区间右端必须大于左端.
7

集合间的基本关系

(1)子集
AB或A(B)
文字语言：集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，就称集合 为集合 的子集；
符号语言：对任意 ，都有 ，则 或 .
(2)真子集
AB
文字语言：集合 中任何一个元素都是集合 的元素，且 中至少有一个元素不是 中的元素，就称集合 是集合 的真子集；
符号语言：若 ，但存在元素 且 ，则 或 .
(3)相等
A(B)
文字语言：如果集合 的任何一个元素都是集合 的元素，同时集合 的任何一个元素都是集合 的元素，那么集合 与集合 相等；
符号语言：若 ，且 ，则 A = B。
【提醒】注意“ ”与“ ”的区别：“ ”表示元素与集合之间的关系，“ ”表示集合与集合之间的关系.
8

子集的相关结论

(1)任何集合是它本身的子集，空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集；
(2)当题目中有条件 时, 应注意讨论 和 两种情况;
(3)子集、真子集都有传递性，如：若 ， ，则 ；若 ， ，则 .
(4)若有限集 中有 个元素，则 的子集个数为 个，非空子集个数为 个，真子集有 个，非空真子集有 个.
高考真题2023·新高考Ⅱ卷·第2题单选
设集合 ，，若 ，则 　　）
A．
B．
C．
D．
答案 B
解析 由 知 且 。 有两种情形： 或 ，即 或 。 当 时 ，，，不合题意； 当 时 ，，确有 。 故选 B。
变式一设集合 ，，若 ，求 的值。
变式二设 ，，判断 是否成立，并说明理由。
9

集合的基本运算

运算自然语言符号语言Venn图
并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 ABA[B
交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 ABA\B
补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ACUAU
【提醒】①全集的定义: 如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素, 就称这个集合为全集, 通常记作 ; ②在进行集合运算时, 要尽可能地借助 Venn 图 (元素离散时) 和数轴 (元素连续时) 使抽象问题直观化, 用数轴表示时要注意端点值的取舍.
高考真题2024·全国甲卷·理第2题单选
集合 ，，则 （　　）
A．
B．
C．
D．
答案 D
解析 由 且 ，得 ，故 。 于是 ，它在 中的补集为 。 故选 D。
变式一设 ，，求 与 。
变式二已知 ，，求 、 及 。
10

集合的运算性质

(1)交集的性质：
(2)并集的性质：
(3)补集的性质：
(4)交、并集混合运算：
高考真题2023·全国乙卷·文第2题单选
设全集 ，集合 ，，则 （　　）
A．
B．
C．
D．
答案 A
解析 先求补集： 中去掉 ，得 。 再求并集：。 故选 A。
变式一全集 ，，，求 、、。
变式二已知 ，，求 、 及 。
11

集合中元素的个数（card）

(1)对于任意两个有限集合 ， .
特别地，当 时， .
(2)拓展：对于任意三个有限集合 ，
高考真题2025·新高考Ⅰ卷·第2题单选
设全集 为小于 的正整数组成的集合，集合 ，则 中元素个数为（　　）
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 ，故 ；，故 。 由补集的元素个数公式得 。 故选 C。
变式一全集 全集 为小于 的正整数组成的集合，，求 中元素的个数。
变式二已知全集 ，，，求 、、。
12

命题的概念

(1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.
(2)一般形式: 若 则 . 其中 叫做命题的条件, 叫做命题的结论.
(3)分类：判断为真的语句是真命题，判断为假的语句是假命题.
13

充分条件、必要条件与充要条件

(1)“若 则 ”为真命题，记作 ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件.
(2)“若 则 ”为假命题, 记作 , 则 不是 的充分条件, 不是 的必要条件.
(3)充分、必要条件的判断可细化为以下四类：
①若 且 ，则 是 的充分不必要条件；
②若 且 , 则 是 的必要不充分条件;
③若 且 , 则 是 的充要条件;
④若 且 ，则 p 是 q 的既不充分也不必要条件.
【提醒】注意区分“ 是 的充分不必要条件”与“ 的一个充分不必要条件是 ”两者的不同，前者是“ 且 ”而后者是“ 且 ”.
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第7题单选
记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 C
解析 设 为等差数列，，则 仍是等差数列，故甲 乙。 反之，设 ，则 ，当 时 故 为常数， 为等差数列，故乙 甲。 甲是乙的充要条件，选 C。
变式一记 为数列 的前 项和，设甲： 对一切 成立；乙： 为等差数列，则甲是乙的（　　）条件。
变式二设 ：函数 对一切 恒成立；：，则 是 的（　　）条件，并写出命题 的等价形式。
14

从集合角度理解充分条件与必要条件

若 以集合 的形式出现， 以集合 的形式出现，即 ， ，则
(1)若 ，则 是 的充分条件；若 时，则 是 的充分不必要条件；
(2)若 ，则 是 的必要条件；若 时，则 是 的必要不充分条件；
(3)若 且 , 即 时, 则 是 的充要条件;
(4)若 且 ，则 是 的既不充分也不必要条件.
15

四种命题及其关系

原命题(若 p，则 q)逆命题(若 q，则 p)否命题(若 ¬p，则 ¬q)逆否命题(若 ¬q，则 ¬p)互逆互逆互否互否互为逆否互为逆否
【提醒】(1)当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提不变.
(2)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.
16

等价转化法判定充分、必要条件

根据“互为逆否的命题同真同假”这一性质，当命题带有否定性词语时常等价转化为其逆否命题来判断。如：
(1) 是 的充分不必要条件 是 的必要不充分条件；
(2) 是 的必要不充分条件 是 的充分不必要条件；
(3) 是 的充要条件 是q充要条件.
【举例】判断“ ”是“ 或 ”的什么条件？可等价转化判断“ 且 ”是“ ”的充分不必要条件而得“ ”是“ 或 ”的充分不必要条件.
高考真题2024·全国甲卷·理第9题单选
已知向量 ，，则（　　）
A．""的必要条件是""
B．""的必要条件是""
C．""的充分条件是""
D．""的充分条件是""
答案 C
解析 若 ，则 ，解得 或 。 所以""能推出""，即它是充分条件，C 正确；同理""只是其中一支，故 A、B 错误。 若 ，则 ，解得 ， 只是其中一支，不能推出平行，故 D 错误。 故选 C。
变式一已知 ，，则""是""的（　　）条件。
变式二已知 ，，则""是""的（　　）条件。
17

充分、必要、充要条件的判断方法

(1)定义法：根据 的真假进行判断；
(2)集合法: 根据 对应集合之间的包含关系进行判断;
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把命题转化为其逆否命题进行判断.
18

全称量词命题及真假判断

(1)全称量词：所有的、任意一个、一切、每一个、任给等，用符号“∀”表示.
(2)全称量词命题：含有全称量词的命题.
(3)命题形式：“对 M 中任意一个 x， 成立”，简记为： .
(4)真假判断：要判断一个全称量词命题为真，必须对在给定集合的每一个元素 ，使命题 为真；但要判断一个全称量词命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素 ，使命题 为假.
(5)对于全称量词命题“ ”为真的问题，实质就是不等式恒成立问题.
高考真题2024·新高考Ⅱ卷·第2题单选
已知命题 ：，；命题 ：，，则（　　）
A． 和 都是真命题
B． 和 都是真命题
C． 和 都是真命题
D． 和 都是真命题
答案 B
解析 对全称命题 ，只需举出一个反例即可否定它。取 ，则 ，所以 是假命题， 是真命题。 对存在性命题 ，取 满足 ，所以 是真命题， 是假命题。 故 和 都是真命题，选 B。
变式一命题 ：，；命题 ：，，判断 、 的真假。
变式二写出命题"，"的否定，并判断该命题的真假。
19

处理不等式恒成立问题的常用方法

(1)分离参数法
恒成立 ; 恒成立 ;
恒成立 ; 恒成立 .
(2)利用函数图象特征列式，如：
①记 ， ，若 恒成立，则 ;
若 恒成立，则 .
②记 ， ，若 恒成立 ;
若 恒成立 ; 若 恒成立 ; 若 恒成立 . 【提醒】若 范围不为 时用图象特征列式情形太多不推荐用本法.
(3)利用函数的最值
恒成立 ； 恒成立 ；
恒成立 ； 恒成立 。
【提醒】若 在所给范围内无最大或最小值则应灵活选择不等号是否含等.
高考真题2023·新高考Ⅱ卷·第6题单选
已知函数 在区间 上单调递增，则 的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 定义域为 ，。 在 上单调递增要求 ，即 ，即 函数 在 上单调递增，故 在 上单调递减，最大值为 。 故 ， 的最小值为 。 故选 C。
变式一已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（　　）。
变式二已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　）。
20

存在量词命题及真假判断

(1)存在量词：存在一个、至少有一个、有些、有一个、有的、某个等，用符号“∃”表示.
(2)存在量词命题：含有存在量词的命题.
(3)命题形式：“存在 中的元素 成立”，简记为： .
(4)真假判断: 要判断一个存在量词为真, 只要在给定的集合中找到一个元素 , 使命题 为真; 要判断一个存在量词命题为假, 必须对在给定集合的每一个元素 , 使命题 为假.
(5)对于存在量词命题“ ”为真的问题，实质就是不等式能成立问题.
21

处理不等式存在性（能成立）问题的常用方法

(1)分离参数法
存在 使 成立 ; 存在 使 成立 ;
存在 使 成立 ; 存在 使 成立 .
(2)利用函数图象特征列式，如：
① 在 能成立 或
② 在 能成立 或
【提醒】若 范围不为 时用图象特征列式情形太多不推荐用本法.
(3)利用函数的最值
存在 使 ；存在 使 ；
存在 使 ；存在 使 。
【提醒】存在性问题的解题思维与恒成立问题完全一样，但要注意不等号方向有变化.
高考真题2022·新高考Ⅰ卷·第15题填空
若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是 ________．
答案
解析 设切点为 ，则 切线方程为 。 令 ，由切线过原点得 "有两条切线"等价于该二次方程有两个不相等的实实根，故 ，即 ，解得 或 。 故 的取值范围是 。
变式一若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是 ________．
变式二若曲线 有且只有一条过坐标原点的切线，则 的取值是 ________．
22

双变量“存在性或任意性”问题等价转化策略

学霸 ★
(1)形如“对任意 ，都存在 ，使得 成立”，转化为函数 值域是 值域的子集.
(2)形如“存在 及 ，使得 成立”，转化为两函数 与 值域的交集不为空集。若把此类型中的两个“存在”均改为“任意”，则转化为 的值域和 的值域相等。
(3)形如“对任意 ，任意 ，使得 成立”，转化为
(4)形如“对任意 ，都存在 ，使得 成立”，转化为
(5)形如“存在 ，对任意 ，使得 成立”，转化为
(6)形如“存在 ，存在 ，使得 成立”，转化为
23

常见命题的否定形式

(1)“若 则 ” 的否定形式是“若 则 ”;
(2)“p或q”的否定形式是“ 且 ”；
(3)“p且q”的否定形式是“ 或 ”；
(4)“ ” 的否定形式是 “ ”；
(5)“ ” 的否定形式是 “ ” .
【提醒】①注意区分命题的否定与否命题是不同的两个概念；②一个命题和它的否定形式不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
02

第二章 一元二次函数、方程和不等式

20 条 · 原书 P7
24

比较两个数（式）大小的方法

(1)作差法（判断差与0的大小）： ，
(2)作商法（判断商与1的大小）： 时， ，
(3)其他还可构造函数利用单调性、借助中间值、等价变形比较、数形结合、估算等.
高考真题2022·新高考Ⅰ卷·第7题单选
设 ，，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 比较时可借助 与 的常用不等式。 构造 ，，故 在 上递减、在 上递增，。 于是 ，即 ，得 ；同时 ，故 ，即 ，得 。 再构造 ，，令 ，由 可知 在 上递减、在 上递增，，故 在 上递增，，即 ，得 。 综上 ，故选 C。
变式一设 ，，，比较 的大小。
变式二设 ，，，比较 的大小。
25

不等式的基本性质

(1)对称性：
(2)传递性： ，
(3)可加性: ; 减法也适用
(4)可乘性： ， ， ， ；除法也适用
【提醒】①等式中约一个量一定要注意为不为0；②不等式中约一个量既要看为不为0还要注意是正是负.
(5)同向可加性： ，
【运用】已知 ，求 的取值范围，可利用待定系数法解决.
设 ，且恒等变形求得待定系数 ，再利用不等式的同向可加性，即可求得 的取值范围。
(6)同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
(7)可乘方性: ;
(8)可开方性: .
26

不等式中与倒数和分数有关的结论

(1)
(2)
(3)若 ，则 ， ；若 .
(4) ， .
(5) 或 .
(6)若 ，则 （真分数）； （假分数）.
27

基本不等式

(1)重要不等式：如果 ，那么 ，当且仅当 时，等号成立.
(2)基本不等式：如果 ，那么 ，当且仅当 时，等号成立.
其中 叫做正数 的算术平均数， 叫做正数 的几何平均数.
高考真题2024·新高考Ⅱ卷·第8题单选
设函数 ．若 对其定义域内一切 恒成立，则 的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 定义域为 。令 得 ，令 得 。 若 ，即 ，则当 时 而 ，，不合题意； 若 ，同理存在 ，不合题意。 故只能有 ，即 。 于是 注意当 （即 ）时，对一切 都有 与 同号， 恒成立，此时 ，取到最小值。 故选 C。
变式一设函数 在其定义域上恒有 ，求 的取值范围。
变式二已知 ，求 的最小值；若等号成立，求 的值。
28

基本不等式的常见结论

(1)
(2)当 时， ；当 时，
(3)当 ， 时，若积 是定值 ，则 有最小值是
(4)当 ， 时，若和 是定值 ，则 有最大值是
29

重要的均值不等式

若 ，则有
解题时可任取出两个作为公式使用，皆当且仅当 时取“=”
【提醒】利用均值不等式求最值时应注意：①非零的各数(或式)均为正；②和或积为定值；③等号能否成立．即“一正、二定、三相等”这三个条件缺一不可.
30

均值不等式求范围（最值）的常用方法

(1)配凑法：将已知条件式变形，凑成求目标式的最值所需要的定值形式；
(2)“1”的灵活代换: 形如 “已知 (t 为常数), 求 的最值” 的问题, 先将 转化为 , 再用均值不等式求最值;
(3)万能 法: 在题目给定关于 的一个二次式, 要求另一个代数式的值, 直接令此式子等于 , 然后用 表示 , 代入原式, 得到一个关于 的一元二次方程, 利用判别式大于等于零, 得到一个不等式, 解出 的范围即可.
【提醒】如果需要连续多次使用均值不等式才能求出最值，则一定要保证等号成立的条件能同时满足.
高考真题2022·全国乙卷·文第23题（选修4-5 不等式选讲）解答
已知 ，， 都是正数，且 ．证明： （1）； （2）．
答案 （1），当且仅当 时取等号； （2），当 时取等号。
解析 （1）由幂均不等式（三数的情形） 左边为 ，故 ，即 。等号当且仅当 时成立（此时 ）。 （2）由 ，得 同理 ，。 三式相加并代入 ，得 等号在 时成立。
变式一已知正数 满足 ，求 的最小值。
变式二已知 且 ，求 的最小值。
31

基本不等式的推广

学霸 ★
(1)若 ，则 （当且仅当 时等号成立）.
(2)若 且 , 则 （当且仅当 时等号成立）.
32

柯西不等式

学霸 ★
(1)二维：设 是实数，则 ，当且仅当 时取等号.
(2)多维： ，当且仅当 或 时取等号.
(3)记忆技巧：平方项比交叉项要大一些，不等式两边的总幂次一致.
33

权方和不等式

学霸 ★
(1)二维：设 ，则 ，当且仅当 时取等.
(2)多维： ，当且仅当 时取等号，其中 .
34

二次函数的三种解析式

(1)一般式: , 对称轴方程是 , 顶点为 , 宜用于已知三个点的坐标时待定系数法所设形式.
(2)顶点式: , 对称轴方程是 , 顶点为 , 常用于已知二次函数的顶点坐标或与对称轴有关或与最大(小)值有关的量时待定系数法所设形式.
(3)零点式: , 对称轴方程是 , 与 轴的交点为 , 常用于已知二次函数与 轴有两个交点且横坐标已知时待定系数法所设形式.
35

二次函数的图象和性质

解析式
图象xyOxyO
定义域
值域
单调性在 上单调递减在 上单调递增在 上单调递增在 上单调递减
对称性函数的图象关于 对称
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第4题单选
设函数 在区间 单调递减，则 的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案 D
解析 令 ，这是开口向上的二次函数，对称轴为 。 因为指数函数 在 上单调递增，要使 在 上单调递减，只需 在 上单调递减。 二次函数在 上递减要求对称轴不在区间内，即 ，所以 。 故选 D。
变式一设函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是 ________．
变式二设函数 （ 且 ）在区间 上单调递增，则 的取值范围是 ________．
36

二次函数 的图象与零点的关系

二次函数的图象xyOx1x2xyOx1=x2xyO
与x轴的交点(x1,0), (x2,0)(x1,0)无交点
零点个数210
高考真题2024·新高考Ⅰ卷·第10题多选
设函数 ，则（　　）
A． 是 的极小值点
B．当 时，
C．当 时，
D．当 时，
答案 ACD
解析 。 令 得 或 。在 内 ， 递减；在 内 ， 递增，故 是极小值点，A 正确。 对 B：，当 时 随 增大而减小， 随 增大而增大，二者均为负，乘积的变化不确定；取 时 ，而 ，有 ，故 B 错误。 对 C：当 时 ， 在 上递减，，C 正确。 对 D： 时 ，由 在 上递减、在 上递增可比较得 ，D 正确。
变式一函数 的零点为 ________．
变式二已知 的两个零点为 ，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
37

三个“二次”的关系（以 为例）

判别式
二次函数 (a>0)的图象xyOx1x2xyOx1=x2xyO
一元二次方程 的根 (其中 $ x_{1,2}=-\frac{b}{2a}无实根
的解集 R
的解集
的解集
的解集
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第1题单选
已知集合 ，，则 （　　）
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 先解一元二次不等式求 ：，故 或 ，即 再与 求交，只有 属于 ，故 。 这也说明：一元二次不等式的解集由二次函数 的零点 与 把数轴分成三段来划定。 故选 C。
变式一已知集合 ，，则 ________．
变式二若 的解集为 ， 的解集为 ，求 。
38

解一元二次不等式的步骤

(1)化标准：通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正；
(2)判别式：对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式；
(3)求实根：求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根；
(4)画草图：根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图；
(5)写解集：根据图象写出不等式的解集（大于找上方，小于找下方）.
高考真题2025·新高考Ⅱ卷·第4题单选
不等式 解集是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 解分式不等式的基本步骤是"移项、通分、化整式"，并注意分母不为零。 等价于 ，作分式临界点 与 ，用"大于取两边、小于取中间"得 故选 C。
变式一解不等式 。
变式二解不等式 。
39

解含参一元二次不等式的分类讨论考虑点

(1)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否能为0，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，再讨论二次项系数大于0和小于0的情形.
(2)当二次项系数为常数且不能因式分解时，则可依据判别式符号进行分类讨论.
(3)当二次项系数为常数且能进行因式分解时，根据对应方程根的大小分类讨论.
40

简单一元高次不等式的解法：根轴法

(1)将不等式化为 形式，并将各因式x的系数化“+”； (2)求方程 各根，并在数轴上表示出来（从小根到大根按从左至右方向表示）；
(3)由最大根右上方开始穿线，经过数轴上表示各根的点（穿线原则：奇穿偶不穿）；
xx1x2x3xn¡2xn¡1xn++¡¡+¡+
(4)若不等式（ 的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在 轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在 轴下方的区间；若不等式是“ ”或“ ”，还要考虑增加区间端点值.
41

分式不等式的解法：移项、通分、化整式

(1)
(2)
(3)
(4)
高考真题2023·新高考Ⅱ卷·第4题单选
若 为偶函数，则 （　　）
A．
B．
C．
D．
答案 B
解析 先求定义域：真分式必须大于零，即 ，即 或 定义域关于原点对称。 再由偶函数性质 ： 于是 等价于 （对定义域内一切 ），即 ，故 。 故选 B。
变式一已知函数 的定义域是 ________．
变式二已知函数 的定义域是 ________．
42

解含绝对值不等式的常见思路

(1)按绝对值的定义分类讨论： ;
(2)公式法： ; ;
若遇 将 视为整体运用上述结论即可.
(3)两边同时平方：如 ，其本质是运用了不等式性质的同向同正可乘性；
(4)利用绝对值的几何意义： 表示数轴上到原点的距离， 表示数轴上到数 的距离.
43

形如 含双绝对值不等式的解法

(1)分段讨论法（其本质为绝对值的定义），利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为 （此处设 ）三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；
(2)利用 的几何意义：数轴上到点 和 的距离之和大于c的全体；
(3)图象法：作出函数 和 的图象，结合图象求解.
03

第三章 函数的概念与性质

35 条 · 原书 P12
44

函数的概念

设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称 为从集合A到集合B的一个函数，记作 .
【提醒】与 垂直的直线和一个函数的图象至多有一个公共点可作为判断一个图象是否为函数图象的依据.
45

函数的三要素

(1)对应关系：即 .
(2)定义域：函数 中， 叫做自变量， 的取值范围 叫做函数的定义域.
(3)值域: 与 的值相对应的 值叫函数值, 函数值的集合 叫做函数的值域. 显然, 值域是函数概念中集合 的子集.
【提醒】①树立定义域优先的意识；②判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致.
46

求函数定义域常见的约束条件

(1)若 为整式，则其定义域为实数集R.
(2)若 是分式，则其定义域是使分母不等于0的实数的集合.
(3)若 为偶次根式，则其定义域是使根号内式子大于等于0的实数的集合.
(4)若 ，则其定义域是 .
(5)若 ，则其定义域是 .
(6)若 ，则其定义域是 .
(7)若 解析式由几个部分构成，则其定义域是使各部分都有意义的实数的集合，即交集.
(8)实际问题中，定义域要受到实际意义的制约.
【提醒】根据函数解析式求定义域时不要对解析式化简，以免化简后定义域发生改变.
高考真题2022·全国乙卷·文第16题填空
若 是奇函数，则 ________， ________．
答案 ，
解析 先求定义域：对数的真数必须为正，故 定义域关于原点对称是奇函数的必要条件。 再由 （即 ）得 即 为定值。而 只有当 ，即 时该乘积才与 无关（此时恒为 ）。 于是 ，得 。 （此时定义域为 ，关于原点对称，且 恒成立，确为奇函数。）
变式一求函数 的定义域。
变式二求函数 的定义域。
47

复合函数定义域的求解思路

(1)任何时候的定义域（无论是已知定义域还是求定义域）均是指其中自变量 的取值集合； (2)相同对应 下括号整体的取值范围一致.
【举例】①若已知函数 的定义域为 ，则复合函数 的定义域由不等式 求出；②若已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为 在 时的值域.
48

函数的表示法

(1)解析法：用解析式表示两个变量之间的对应关系.
(2)列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
(3)图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
49

求函数解析式的常用方法

(1)代入法：已知函数 的解析式求 的解析式，将 代入 的解析式即可.
(2)配凑法: 已知 的解析式求 的解析式, 可将 改写成关于 的表达式, 然后根据函数定义以 代 即可, 要注意 的值域即为所求函数定义域.
(3)换元法: 若已知 的表达式求 的解析式, 通常可令 , 从中解出 ,再将 、 代入已知解析式求得 的解析式，即得到函数 的解析式，要注意新设变量 的取值范围为所求函数定义域.
(4)待定系数法：适用于已知函数的类型（如一次函数、二次函数），先设出含有待定系数的解析式，再利用题目条件建立方程（组），通过解方程（组）求出相应的待定系数.
(5)解方程组法（消元法）：已知 与 或 之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 .
(6)转换法：适用于已知奇偶性、对称性或周期性的函数在部分区间上的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式，关键是注意区间的转换．其解题步骤如下：
①设元，“求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内；
② 对 进行构造转变到已知区间内，利用已知区间的解析式进行代入；
③利用奇偶性或对称性或周期性写出 在所求区间关于 的解析式.
(7)赋值法：对于抽象函数 ，常采用赋值法消元求解析式.
高考真题2023·全国乙卷·文第5题单选
已知 是偶函数，则 （　　）
A．
B．
C．
D．
答案 D
解析 由偶函数的定义 ，且 故 两边约去 ，整理得 注意 与 的关系： 代入原式即得 对一切定义域内的 成立，故 。 验证： 时 ，确为偶函数。 故选 D。
变式一已知函数 ，则 是（　　）
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
变式二已知函数 （）的图象关于点 中心对称，判断 的对称中心。
50

函数图象的作法

(1)基本作图法，步骤：列表、描点、连线；
(2)性质作图法，熟悉的基本函数可根据函数的特征直接作出；
(3)变换作图法，包含：平移变换、对称变换、伸缩变换.
51

函数图象的平移变换（口诀：左加右减，上加下减）

(1)左右平移： 的图象，可由 的图象向左(+)或向右(-)平移a个单位而得到.
(2)上下平移： 的图象，可由 的图象向上(+)或向下(-)平移b个单位而得到.
【提醒】“左加右减”的“加减”指的是自变量；“上加下减”的“加减”指的是函数值.
高考真题2024·新高考Ⅱ卷·第9题多选
对于函数 和 ，下列说法中正确的有（　　）
A． 与 有相同的零点
B． 与 有相同的最大值
C． 与 有相同的最小正周期
D． 与 的图象有相同的对称轴
答案 BC
解析 ，即由 向右平移 个单位得到。 A． 得 ； 得 ，零点不同，A 错误。 B．两函数的最大值都是 ，B 正确。 C．两函数的最小正周期都是 ，C 正确。 D． 的对称轴满足 ，即 ； 的对称轴满足 ，即 ，不同，D 错误。 故选 BC。
变式一已知 ，则 的最小正周期和单调递增区间分别是（　　）
变式二将 的图象向左平移 个单位，再向下平移 个单位，所得图象的解析式为 ________．
52

函数图象的对称变换

(1)函数 的图象，可将 的图象关于 y 轴对称而得到；
(2)函数 的图象，可将由 的图象关于 轴对称而得到；
(3)函数 的图象，可将由 的图象关于原点对称而得到；
(4)函数 的图象，可将 的图象在 轴下方的部分折到 轴上方，其余部分不变；
(5)函数 的图象，可先作出 在 时的图象，再复制一份关于 轴对称而得到.
高考真题2022·新高考Ⅰ卷·第10题多选
已知函数 ，则（　　）
A． 有两个极值点
B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
答案 AC
解析 ，令 得 ，故有两个极值点，A 正确。 ，，，，，由零点存在定理知 在 与 内各有一个零点，而 在 恒成立，故 在 上单调递增至多一个零点。综合得 有三个零点，B 正确。 又 ，即 ，曲线关于点 中心对称，C 正确。 直线 与曲线相切需存在 使 且 ，即 得 ； 时 ， 时 ，故 D 错误。 故选 AC。
变式一曲线 的对称中心是 ________．
变式二已知 ，则曲线 的对称中心是 ________．
53

两个函数图象的相互对称

(1)两个函数的图象成轴对称
①函数 与 的图象关于 轴对称；
②函数 与 的图象关于 轴对称；
③函数 与 的图象关于 x = a 轴对称；
④函数 与 的图象关于直线 轴对称；
⑤函数 与 的图象关于直线 轴对称.
(2)两个函数的图象成中心对称
①函数 与 的图象关于原点中心对称；
②函数 与 的图象关于点 中心对称；
③函数 与 的图象关于点 中心对称.
④函数 与 的图象关于点 中心对称.
54

分段函数

如果函数 ，根据自变量 在 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数.
(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，它的最大值取各段最大值中最大的，最小值取各段最小值中最小的.
(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段函数的图象.
(4)分段函数正向代入求值要注意对应的范围；逆向求自变量要注意分类讨论.
高考真题2024·新高考Ⅰ卷·第6题单选
已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案 B
解析 分段函数在 上单调递增，需满足：每一段上单调递增，且分界点处左段的函数值不超过右段的函数值。 当 时， 与 都单调递增，故 在 上单调递增，最小值 。 当 时， 开口向下，对称轴为 ，要在 上单调递增需 ，即 ；此时左段的函数值范围为 。 衔接条件：，即 。 综合得 ，故选 B。
变式一已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是 ________．
变式二已知函数 ，求 的解析式。
55

函数的单调性

设函数 的定义域为D，区间 :
(1)如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递增（如图①）。特别地，当函数 在它的定义域上单调递增时，就称它是增函数。
xyOx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)
图①
xyOx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)
图②
(2)如果 ，当 时，都有 ，那么就称函数 在区间 上单调递减（如图②）。特别地，当函数 在它的定义域上单调递减时，就称它是减函数。
(3)如果函数 在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数 在这一区间具有（严格的）单调性，区间I叫做 的单调区间.
【提醒】①单调区间是定义域的子集，最终答案只能用区间表示；②图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“U”连接，也不能用“或”连接.
高考真题2024·新高考Ⅱ卷·第11题多选
设函数 ，则（　　）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在 ，使得 为曲线 的对称轴
D．存在 ，使得点 为曲线 的对称中心
答案 AD
解析 。 对 A：当 时， 在 与 上递增，在 上递减。，，由零点存在定理知 内有一个零点；又 、，故 与 内各有一个零点，共三个零点，A 正确。 对 B：当 时，、、，故 是极小值点，B 错误。 对 C：若存在 使 为对称轴，则 ，比较两边 的系数，左边为 ，右边为 ，矛盾，故不存在，C 错误。 对 D：取 ，则 ，，且 为常数，故 是对称中心，D 正确。 故选 AD。
变式一已知函数 ，则下列结论正确的是（　　）
A． 在区间 上单调递减
B． 在 上有三个零点
C． 的极大值为
D． 的极小值为
变式二已知函数 ，则 的极大值是 ________．
56

求函数的单调区间或单调性的常用方法

(1)定义法：先求定义域，再利用单调性定义.
(2)图象法：如果 是以图象形式给出的，或者 的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间；自左向右看增函数图象是上升的，减函数图象是下降的.
(3)性质法（利用已知函数的单调性）：转化为已知函数的和、差或复合函数形式，求单调性.
(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间.
【提醒】证明函数单调性只能用定义法和导数法.
57

用定义法证明函数单调性的步骤

(1)取值：任取 ，且 ；
(2)作差： ;
(3)变形：通常通过因式分解、配方、通分、有理化等方法将结果化为积或商的形式，向有利于判断差的符号的方向变形（强调必须变形到位）；
(4)判号：判断差 的正负符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论；
(5)定论：根据定义指出函数 在给定区间 D 上的单调性.
【提醒】当 均为正时第②步也可选择作商，则相应第④步应判断与1的大小.
58

有关函数单调性的常用结论

(1)若函数在区间 上是单调的，则该函数在此区间的任意子区间上也具有相同的单调性.
(2)对 ，① （或 ） 在 上是增函数.
② （或 ） 在 上是减函数.
(3)在公共定义域内，① （C为常数）、 、 、 与 单调性相同；
② 、 、 、 与 单调性相反.
【提醒】结论本质是复合函数的单调性.
(4)① 、 在某区间上单调性相同时， 的单调性不变，即增+增=增，减+减=减.
② 在某区间上单调性相反时， 的单调性与 的单调性相同，即增一减=增，减一增=减.
③若 都恒大于 0，当 都是增（减）函数时， 是增（减）函数；当 是增（减）函数， 是减（增）函数时， 是增（减）函数.
(5)①若 具有对称轴 x=a，则在 x=a 两侧的对称区间上 具有相反的单调性.
②若 具有对称中心 ，则在 x=a 两侧的对称区间上 具有相同的单调性.
59

复合函数 单调性的判断步骤

(1)确定函数的定义域;
(2)将复合函数分解成两个简单函数： 与 。其中 称为外层函数， 称为内层函数；
(3)分别确定两个简单函数的单调性；
(4)下结论（同增异减）.
① 若两个函数在对应的区间上单调性相同，则复合后的函数 为增函数；
②若两个函数在对应的区间上单调性相异，则复合后的函数 为减函数.
60

二次函数 单调性问题的常见类型

(1) 在区间 上不单调，则 (2) 在区间 上存在单调递增区间，则 ；若存在递减区间则 . (3) 在区间 上单调递增，则 ；若递减则 .
61

利用函数的单调性求解不等式的方法

(1)记 是 定义域（或某一区间）上任意两个自变量，若 在定义域（或该区间）上是增函数，则 的大小与 大小一致；若 是减函数，则 的大小与 大小相反.
(2)在解决 “与抽象函数有关的不等式” 问题时，可通过 “脱去” 函数符号 “f” 化为一般不等式求解，但必须在同一单调区间内进行.
【提醒】若不等式一边没有“f”而是常数，则应将常数转变为某自变量对应函数值.
62

已知分段函数单调性求参问题

(1)若分段函数 在定义域上是单调递减函数，则 在各自区域内单调递减，且满足 .
(2)若分段函数 在定义域上是单调递增函数，则 在各自区域内单调递增，且满足 . 【技巧】①每段单调，②转折点不反超.
63

函数的最大（小）值

设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
(1) 都有 且 使得 ，则称 是 的最大值；
(2) 都有 且 使得 ，则称 是 的最小值.
【提醒】①闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到；②开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值.
高考真题2022·全国乙卷·文第11题单选
函数 在区间 的最小值、最大值分别为（　　）
A．，
B．，
C．，
D．，
答案 D
解析 。 由于 在 上恒成立，故 的符号由 决定： 在 上递增，在 上递减，在 上递增。 各关键点函数值：，，，。 故最大值为 ，最小值为 ，选 D。
变式一已知 在区间 上的最大值为 ________．
变式二已知 （），则 的最小值为 ________．
64

求函数最值（或值域）的常用方法

(1)观察法：对于比较简单的函数，可以通过观察直接得到值域或最值.
(2)配方法：对于二次函数或可化为二次函数形式的函数，可用配方法求解.
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．形如 的函数常选择代数换元（设 ），形如 的函数常选择三角换元（设 ）.
(4)分离常数法：常用于齐次或分母为1次的分式型函数整理．形如 这一结构，可变形为 ，则函数在定义域 内的值域是 .
(5)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值（若基本不等式取不了等号则借助对勾函数求解）.
(6)单调性法：先确定函数的单调性，再由端点处的函数值确定最值或值域.
(7)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.
(8)函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域．一般利用 ， ， 等.
(9)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.
【提醒】另有反解法、判别式法等不常见方法，思维与有界性法类似.
65

二次函数 在闭区间 上的最值

(1)若 ，则 （距离对称轴远处），
(2)若 ，则 ，
(3)若 ，则 ，
【提醒】二次函数在闭区间上最值主要有三种类型: 轴定区间定、轴动区间定, 轴定区间动. 不论哪种类型, 解决的关键都是看清对称轴与区间的关系, 当含有参数时, 要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.
66

二次函数 在闭区间 上的最值

(1)若 ，则 ， （距离对称轴远处）
(2)若 ，则 ，
(3)若 ，则 ，
67

函数的奇偶性

设函数 的定义域为 ，如果 ，都有 ，且
(1) ，那么函数 就叫做偶函数.
(2) ，那么函数 就叫做奇函数.
【提醒】①定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；②函数奇偶性的分类可细化为偶函数、奇函数、既奇又偶函数和非奇非偶函数.
68

判断函数奇偶性的3种方法

(1)定义法: 利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式: 或 判断函数的奇偶性. （注意先确保函数定义域关于原点对称前提）
(2)图象法: 奇函数的图象关于原点对称, 偶函数的图象关于 轴对称.
(3)性质结论法：在 ， 的公共定义域上，有下列结论.
f(x)g(x)f(x)+g(x)f(x)-g(x)f(x)g(x)f(x)/g(x)f(g(x))
偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数偶函数
偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数奇函数偶函数
奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数奇函数偶函数
奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数
69

奇(偶)函数的常用结论

(1)奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；
(2)偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性；
(3)若 在奇函数 定义域中，则必有 ；
(4)若函数 是奇函数，且 ，则必有 ;
(5)若奇函数 在D上有最值，则 ;
(6)如果函数 满足 ，那么 是偶函数；
(7)既是奇函数又是偶函数的函数为 ，D关于原点对称.
高考真题2022·新高考Ⅰ卷·第12题多选
已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ．若 ， 均为偶函数，则（　　）
A．
B．
C．
D．
答案 BC
解析 由 为偶函数知 关于直线 对称，即 ，于是 由 为偶函数知 关于直线 对称，即 。把上式中的 换成 得 ，故 ，即 以 为周期且 。 由 与 （对 关于 对称求导即得）可推出 ，即 以 为周期。 于是 ，C 正确。 又 （关于 对称），而 （由 ），故 ，B 正确。 ，，两者不一定相等，D 错误； 也不一定成立，A 错误。 故选 BC。
变式一已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则 的最小正周期是（　　）
变式二已知 是定义在 上的偶函数，且 ，求 的最小正周期。
70

同一函数图象的自对称结论

(1)若 对任意 恒成立，则 图象关于直线 x=a 对称；
(2)若 对任意 恒成立，则 图象关于直线 对称；
(3)若 对任意 恒成立，则 图象关于点 对称；
(4)若 对任意 恒成立，则 图象关于点 对称；
(5)若 对任意 恒成立，则 图象关于点 中心对称；
(6)若 对任意 恒成立，则 图象关于点 中心对称.
71

函数的周期性

(1)周期函数的定义
设函数 的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个 都有 ，且 ，那么函数 就叫做周期函数．非零常数T叫做这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 的最小正周期.
【提醒】①不作特别说明时，所求题目描述的周期即为最小正周期；②若 是函数的周期，则 且 也是函数的周期.
高考真题2025·新高考Ⅰ卷·第5题单选
设 是定义在 上且周期为 的偶函数，当 时，，则 （　　）
A．
B．
C．
D．
答案 A
解析 由偶函数性质与周期性： 因为 ，故 故选 A。
变式一设 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 ________．
变式二设 是定义在 上的偶函数，当 时 ，则 ________．
72

函数周期性的常用结论

若对于函数 定义域内的任意一个 都有：
(1)若 ，则函数 最小正周期 .
(2)若 ，则函数 最小正周期 T=2|a|.
(3)若 ，则函数 最小正周期 T = 2|a|.
(4)若 ，则函数 最小正周期 .
(5)若 ，则函数 最小正周期 .
(6)若 ，则函数 最小正周期 .
(7)若 ，则函数 最小正周期 .
73

具有双对称性特征函数的周期性结论

(1)函数 关于直线 与 对称，那么函数 的周期为 .
(2)函数 关于点 对称，又关于点 对称，那么函数 的周期为 .
(3)函数 关于直线 对称，又关于点 对称，那么函数 的周期为 .
【记忆技巧】利用正余弦函数图象很容易帮助理解周期是两个对称轴之间距离的2倍，是两个对称中心之间距离的2倍，是对称轴和对称中心的4倍.
【提醒】若函数 是奇（偶）函数时转化为对称性使用结论.
74

幂函数的概念

形如 的函数叫做幂函数，其中底数 x 是自变量，a 是常数.
【提醒】幂函数的特征：① 的系数为1；② 的底数x是自变量，指数a为常数；③项数只有一项.
75

幂函数的图象特征

(1)幂函数在 上都有定义且图象都过点(1,1); 如果幂函数的图象与坐标轴相交, 则交
点一定是原点；
(2)当 时，幂函数图象都过点 与 ，且在 上单调递增；特别地，当 时，幂函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸；
(3)当 时，幂函数的图象都过点 ，在 上单调递减.
xyO112¡12¡1¡2y=x2y=x3y=x2y=xy=x12y=x¡1y=x¡1y=x3
【提醒】幂函数的图象一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限，是否在第二、三象限内出现，要看定义域和奇偶性；在区间(0,1)上，幂函数
中指数越大，函数图象越靠近 轴(简记为“指大图低”)，在区间 上，幂函数中指数越大，函数图象越远离 轴.
76

常见幂函数的性质

定义域RRR
值域R R
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
单调性增(-∞,0]减; 增增增(-∞,0)减; 减
定点(0,0),(1,1)(1,1)
77

对勾函数 （ ）的图象和性质

(1)定义域： ；值域： 或
(2)局部最值：当 时， 时取最小值 ，
当 时， 时取最大值
(3)渐近线：两条， 和
(4)单调增区间： 和
单调减区间： 和
(5)奇偶性：奇函数
78

双撇函数 （ ）的图象和性质

(1)定义域： ；值域：
(2)渐近线：两条，y=ax 和 x=0
(3)单调增区间： 和
(4)奇偶性：奇函数
xy2pabqbay=ax
xy¡qbaqbay=ax
04

第四章 指数函数与对数函数

34 条 · 原书 P21
79

次方根

n$ 次方根
(1)定义：如果 ，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且 .
(2)性质：
【提醒】①负数的偶次方根无意义；②零的任何次方根都等于零.
80

根式

(1)定义：式子 叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.
(2)性质 ，且
① （注意必须使 有意义）
②当n为奇数时，
当 为偶数时，
81

有理数指数幂

(1)正分数指数幂： （ ， ， ，且
【提醒】不要轻易对 进行约分，否则会改变 的取值范围而导致出错.
(2)负指数幂的意义： （ ， ）.
(3)0 指数幂: .
82

指数幂的运算性质（ ）

(1)
(2) （ ）
(3) （ ）
(4) （ ）
83

指数函数

(1)定义：函数 ( 且 ) 叫做指数函数，其中指数 是自变量，定义域是 .
(2)结构特征: ①底数大于0且不等于1; ② 前的系数为1; ③只有一个自变量.
【提醒】幂函数中底数是自变量，指数是常数，而指数函数中底数是常数，指数是自变量.
高考真题2025·新高考Ⅰ卷·第12题填空
若直线 是曲线 的切线，则 ________．
答案 4
解析 设切点为 。 ，切线斜率为 ，故 。 切点 也在直线 上，故 ，得 。 验证： 时曲线 在点 处的切线斜率为 ，切线方程 ，即 ，符合题意。
变式一若直线 是曲线 的切线，求 的值。
变式二若直线 是曲线 的切线，求 的值。
84

指数函数的图象及性质

a&gt;10
图象xyOy=1(0;1)y=axxyOy=1(0;1)y=ax
定义域R
值域(0, +∞)
过定点过定点(0,1),即 a0=1
函数值的变化当x&gt;0时,y&gt;1;当x&lt;0时,0当x&gt;0时,0&lt;y&lt;1;当x&lt;0时,y&gt;1当x&gt;0时,0&lt;y&lt;1;当x&lt;0时,y&gt;1
·单调性是R上的增函数是R上的减函数
对称情况 与 的图象关于y轴对称
xyO111234
85

指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数① ，② ，③ ，④ 的图象，底数a,b,c,d与1的大小关系为c>d>1>a>b.
一般规律：在第一象限，其底数越大图象越高，简记“底大图高”。
86

解决指数型函数图象过定点问题的思路

指数函数 （a>0 且 ）图象过定点(0,1)，据此可解决形如 （ ，a>0 且 ）的函数图象过定点的问题，即令指数 ，即x=-c，得 ，函数图象过定点 .
87

指数型不等式的求解举例

88

比较指数幂大小的常用方法

分类比较对象解决方法
底数相同,指数不同 与 利用指数函数 的单调性
指数相同,底数不同 与 1利用指数函数图象“底大图高”2利用幂函数 的单调性
底数、指数都不同 与 寻找中间变量0,1或 或
89

对数与指数之间的关系

且 时，
x 叫做以 a 为底 N 的对数，a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
【提醒】负数和0没有对数； ；
90

常用对数与自然对数

(1)通常将以 10 为底的对数叫做常用对数， 可简记为 ;
【建议】学霸可记忆 方便估算.
(2)以 （ ）为底的对数称为自然对数， 简记为 。
【建议】学霸可记忆 方便估算.
91

对数恒等式

(1) ，常用于解对数不等式时将常数变形为同底对数式；
(2) ，常用于解指数不等式时将常数变形为同底指数式.
92

对数的运算性质

如果 且
(1)
(2)
(3)
(4)
【提醒】若运算中出现 和 ，建议运用结论 进行转化.
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第10题多选
噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级 ，其中常数 是听觉下限阈值， 是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源与声源的距离　　声压级　　燃油汽车 　　　混合动力汽车 　　　电动汽车 　 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声压分别为 ，，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
答案 ACD
解析 由 知声压级越大声压越大，且 相差 时声压相差 倍。 对 A：燃油汽车声压级不小于 ，混合动力汽车不大于 ，故 ，A 正确。 对 B：，，故 ，只能得到 ，不能得到 ，B 错误。 对 C：，故 ，，，C 正确。 对 D：，，故 ，，即 ，D 正确。 故选 ACD。
变式一计算 的值。
变式二已知 ，，求 的值（精确到 ）。
93

对数的换底公式

且 ; 且 ; .
特别地： ，推广：
高考真题2024·全国甲卷·理第15题填空
已知 ，，则 ________．
答案
解析 由换底公式 ，，原式化为 于是 ，即 ，故 （由 知 ，与所得结果一致，故答案唯一。）
变式一已知 ，，则 ________．
变式二已知 且 ，求 的值。
94

对数函数

(1)概念：函数 叫做对数函数，其中 是自变量，定义域是 .
(2)结构特征: ① 前边的系数必须是1; ②底数 为常数, ,且 ; ③真数为自变量 ,而不是关于 的代数式.
95

对数函数的图象和性质

a&gt;10
图象xyOx=1(1;0)y=logaxxyOx=1(1;0)y=logax
定义域(0,+∞)
值域R
过定点过定点(1,0),即
函数值的变化当x&gt;1时,y&gt;0;当0&lt; x&lt;1时,y&lt;0当x&gt;1时,y&lt;0;当0&lt; x&lt;1时,y&gt;0
单调性在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数
对称情况y= 与y= 的图象关于x轴对称
(1)定义:
高考真题2025·新高考Ⅰ卷·第8题单选
若实数 ，， 满足 ，则 ，， 的大小关系不可能是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案 B
解析 设 ，则 用特殊值验证： 取 ，得 ，，，此时 ，A 可能； 取 ，得 ，，，此时 ，D 可能； 取 ，得 ，，，此时 ，D 可能； 取 ，得 ，，，此时 ，C 可能。 而 无法实现（例如 较大时 增长最快），故选 B。
变式一已知 ，，，比较 的大小。
变式二已知 ，，比较 与 的大小。
96

反函数

(1)指数函数 与对数函数 互为反函数.
(2)性质：①互为反函数的两个函数图象关于直线 对称；②反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域.
97

与函数 的定义域、值域有关的结论

(1)若函数 的定义域为 ，则 的解集为 .
(2)若函数 的值域为 ，则函数 的值域取遍所有正实数.
(3)若 在区间 上有意义, 则 在区间 上的最小值大于 0 , 注意所给区间 是定义域的子集, 不一定是定义域.
98

对数函数的图象与底数大小的比较

如图，作直线 y=1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数。故 0<c<d<1<a<b。
一般规律：在第一象限，其底数越大图象越靠右，简记“底大图右”.
99

对数不等式的求解举例

(1) 或
(2) 或
【提醒】形如 的不等式，需先将 b 化为以 a 为底的对数形式再进行求解.
高考真题2024·新高考Ⅰ卷·第18题解答
已知函数 ． （1）若 ，且 ，求 的最小值； （2）证明：曲线 是中心对称图形； （3）若 当且仅当 ，求 的取值范围．
答案 （1） 的最小值为 ； （2）曲线 关于点 中心对称； （3）， 的取值范围是 。
解析 （1）当 时，定义域为 ，且 故 恒成立 ， 的最小值为 。 （2）对 ，有 从而 ，即 ，曲线 关于点 中心对称。 （3）令 ，则条件" 当且仅当 "等价于 由 得 ；此时 是奇函数，故只需 。又 因 ，故 在 上递增当且仅当 ，即 ；反之 时 在 内先减，条件不成立。 所以 的取值范围是 。
变式一求函数 的单调区间。
变式二求函数 使 成立的 的取值范围。
100

比较对数大小的常用方法

(1)若底数相同，可利用对数函数的单调性处理.
(2)若底数不同, 真数相同, 可利用函数图象 (底大图右) 或用取倒数 (换底公式) 化为同底后帮助比较.
(3)既不同底，又不同真数，可引入中间量(如-1,0,1等)进行比较.
101

三种不同函数增长的差异

函数
在 上的增减性单调递增单调递增单调递增
图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定增长速度不变
形象描述指数爆炸对数增长直线上升
增长速度 的增长速度最终都会大大超过 的增长速度
增长结果存在一个 ,当 时,有
高考真题2022·新高考Ⅰ卷·第22题解答
已知函数 和 有相同的最小值． （1）求 ； （2）证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
答案 （1）； （2）存在直线 ，使它与 、 共有三个不同交点，且三个交点从左到右的横坐标成等差数列。
解析 （1） 在 上要有最小值必须 ，此时 得 ，最小值为 在 上要有最小值必须 ，此时最小值在 处取得。令两函数的最小值相等，注意到 时 在 处取最小值 ， 在 处取最小值 ，两者相等，解得 。 （2）当 时， 的图象是"指数型增长"的， 是"对数型增长"的，两条曲线在 增大时一升一降。取 ，水平直线 与 有两个交点（一个在 处、一个在 处），与 有一个交点（）。通过构造函数 并结合 、 的单调性可以证明这三个交点的横坐标成等差数列（这正是题目所要求的结论）。
变式一已知 （）在 处取得最小值，求 的值。
变式二比较 与 的大小。
102

常见的函数模型及增长特点

(1)线性函数模型：线性函数模型 的增长特点是直线上升，其增长速度不变.
(2)指数函数模型: 指数函数模型 的增长特点是随着自变量的增大, 函数值增大的速度越来越快, 即增长速度急剧, 形象地称为 “指数爆炸”.
(3)对数函数模型: 对数函数模型 的增长特点是随着自变量的增大, 函数值增长的速度越来越慢, 即增长速度平缓.
(4)幂函数模型：幂函数 的增长速度介于指数增长和对数增长之间.
103

函数的零点

(1)概念：对于一般函数 ，我们把使 的实数x叫做函数 的零点.
(2)方程的实数解、函数的图象与 轴的交点、函数的零点三者之间的联系
函数 y=f(x) 有零点函数 y=f(x) 的图象与 x 轴有公共点方程 f(x)=0 有实数解
【提醒】函数的零点不是点，是函数值为0时对应的x值，是对应方程 的根.
104

函数零点存在定理

如果函数 在区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且有 ，那么，函数 在区间 内至少有一个零点，即存在 ，使得 ，这个 也就是方程 的解.
高考真题2023·全国乙卷·文第8题单选
函数 存在 个零点，则 的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案 B
解析 。若 ，则 ， 在 上单调递增，至多有一个零点，不合题意，故 。 此时 的两个零点为 。记 ，则 ， 在 与 上递增、在 上递减， （极大值），（极小值）。 三次函数有三个不同实零点 极大值 且极小值 ，故 故 ，选 B。
变式一已知函数 有三个不同的零点，求 的取值范围。
变式二证明函数 在区间 上存在唯一零点。
105

判断函数零点（方程的根）所在区间的方法

(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上.
(2)定理法：利用零点存在性定理进行判断.
(3)数形结合法：①画出相应的函数图象，通过观察图象与 轴在给定区间上是否有交点来判断；②转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.
106

判断函数零点个数的方法

(1)解方程法: 若对应方程 可解时, 通过解方程, 则有几个解就有几个零点.
(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间[a,b]上是连续不断的曲线,且 ,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.如:连续不断的函数 在定义域上是单调函数,则 至多有一个零点.
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题。先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数。
107

已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的常用方法

(1)直接法: 直接根据题设条件构建关于参数的不等式, 再通过解不等式确定参数范围.
(2)分离参数法（参数和自变量全分离）：先将参数分离，然后用数形结合法解决或转化为函数值域的问题解决.
(3)数形结合法（参数和自变量半分离）：把原函数拆解为两个部分（拆解为熟悉的函数类型，一边含参数，一边不含参数，含参的往往为一次函数、指数函数、对数函数等单调的函数。含参部分一定要搞清参数对函数图象的影响），在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，分析参数对函数图象的控制来满足题目的要求，进而得出参数的范围。
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第15题填空
已知函数 在区间 有且仅有 个零点，则 的取值范围是 ________．
答案
解析 令 ，则 对应 。 。 要使 三个零点落在 内，而 不落在其内，需 即 。 故选 。
变式一已知函数 在 上恰有 个零点，求 。
变式二已知函数 （）在区间 上有且仅有 个零点，求 的取值范围。
108

方程、不等式与函数图象间的等价转化

(1)方程 有实根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点
(2)方程 有实根（或实根个数） 函数 与 的图象有交点（或交点个数） 函数 有零点（或零点个数）
(3)不等式 的解 函数 的图象位于 的图象上方的点的横坐标的取值范围
109

一元二次方程 根的分布问题

(1)初中方法（有局限）：韦达定理， ， （ 时）
(2)高中方法：借助二次函数的零点分布（数形结合）来解，具体步骤如下：
①根据题意画出可能的图象.
②根据图象列出不等式组，列式思路：①开口方向，②判别式，③对称轴的位置，④特殊点的函数值符号.
③通过不等式组解出所求范围.
110

二次函数 （ ）的零点分布举例【提醒】注意根、解、零点间的区别与联系（如两个相等的根可说一个解但不能说一个根）.

111

二分法的概念

类型零点分布图象条件转化
两根都小于m xyOx1x2m
两根都大于m xyOx1x2m
一个根小于m,另一根大于m xyOx1x2m
两根在(m,n)内 xyOx1x2mn
一个根在(m,n)内另一根在(n,p)内 xyOx1x2mnp
在(m,n)内恰有一零点(含四类情形) xyOmn
xyOmn
xyOmnxyOmn
在区间 上图象连续不断且 的函数 ，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
112

用二分法求函数 零点 近似值的步骤

(1)验证：确定零点 的初始区间 ，验证 ，给定精确度 ;
(2)求中点：求区间 的中点 ;
(3)计算 :
①若 （此时 ），则 c 就是函数的零点；
②若 (此时 )，则令 b=c;
③若 (此时零点 )，则令 a=c.
(4)判断是否达到精确度 ：即若 ，则得到零点近似值 (或 )；否则继续求中点重复(2)(3)(4).
05

第五章 三角函数

50 条 · 原书 P28
113

任意角的概念

(1)角的概念：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)角的分类:
①按旋转方向，可将角分为正角、负角、零角.
名称定义图形
正角按逆时针方向旋转形成的角OAB
负角按顺时针方向旋转形成的角OAB
零角一条射线没有做任何旋转形成的角
象限角：在平面直角坐标系中，若角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.
轴线角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.
【提醒】角的概念推广后，角度的范围不再限于 。（本书中，角 在 范围内是指 ）
114

角的加法与减法

(1)若两角 的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 .
(2)设 是任意两个角，把角 的终边旋转角 ，这时终边所对应的角是 .
(3)相反角: 把射线 绕端点 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角, 角 的相反角记为 , .
115

终边相同的角

所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合 ，即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和。
【提醒】①角α为任意角，“ ”不能省略。②相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍。
116

表示区域角的三个步骤

(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的 范围内的角 和 ，所以 ，其中 （若边界为实线则增加等号）；
(3)起始、终止边界对应角 ，再加上 的整数倍，即得区域角的集合.
117

已知 所在象限，确定 或 所在象限

(1)用不等式表示 的范围，再确定 或 的范围，再判断角所在象限；
(2)数形结合法, 等分象限, 确定角所在象限, 即求 所在象限时, 可以把每个象限等分为 份, 在每一份中按逆时针顺序标记一、二、三、四, 找到原象限数字即可.
118

度量角的两种制度

角度制定义1度的角用度作为单位来度量角的单位制周角的 为1度的角,记作
弧度制定义用弧度作为单位来度量角的单位制
1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度单位用符号rad表示,读作弧度
【提醒】①以弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可。②不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值。③在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用。
119

弧度数的计算

(1)在半径为 的圆中，弧长为 的弧所对的圆心角为 ，那么 .
(2)正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
120

弧度与角度的互化

角度化弧度弧度化角度360±=2¼rad2¼rad=360±180±=¼rad¼rad=180±1±=¼180rad¼0:01745rad1rad=¡180¼¢±¼57:30±=57±180度数 × π/180 = 弧度数弧度数 × (180/π)° = 度数
121

终边在坐标轴上的角的表示

(1)终边在x轴非负半轴（正半轴）： ；
(2)终边在x轴非正半轴（负半轴）： ；
(3)终边在y轴非负半轴（正半轴）： ；
(4)终边在y轴非正半轴（负半轴）： ；
(5)终边在 轴上：
(6)终边在y轴上： ；
(7)终边在坐标轴上： ，
122

终边在第一、二、三、四象限的角的表示

(1)第一象限：
(2)第二象限：
(3)第三象限：
(4)第四象限：
123

扇形的弧长公式与面积公式

(1) （α为弧度制）， （n为角度制），
(2) （α为弧度制）， （n为角度制），
124

任意角的三角函数的定义

设 是一个任意角， ，它的终边OP与单位圆相交于点 .
(1)正弦：把点P的纵坐标y叫做 的正弦函数，记作 ，即 ;
(2)余弦：把点 的横坐标 叫做 的余弦函数，记作 ，即
xyOP(x;y)®A(1;0)
(3)正切：把点 的纵坐标与横坐标的比值 叫做 的正切，记作 即 ，其比值为函数值的函数，称为正切函数；
(4)三角函数：将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
125

三角函数的一般性定义

设直角坐标系中任意大小的角 终边上一点 （不与原点 重合）的坐标为 ，它到原点的距离为 ， ，则任意角 的三角函数的定义如下：
(1)正弦:
(2)余弦：
(3)正切：
126

特殊角的三角函数值

角度 0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°
弧度 0 2
sin 0 1 0-10
cos 1 0 -101
tan 0 1 / -1 0/0
【补充】可记 , , , 方便速算.
高考真题2023·全国乙卷·文第14题填空
若 ，，则 ________．
答案
解析 因为 为锐角且 ，可设 ，，则 得 （取正）。 故 ，，
变式一已知 ，且 为第二象限角，求 的值。
变式二已知 ，且 ，求 的值。
127

三角函数值在各象限的符号

xyO++¡¡sin®xyO¡+¡+cos®xyO¡++¡tan®
【简记】一全正，二正弦，三正切，四余弦.
128

同角三角函数的基本关系

(1)平方关系： ，
(2)商数关系：
【提醒】同角不拘泥于角的形式，如 ， 都成立.
129

同角三角函数基本关系式的应用技巧

(1)切弦互化: 主要利用公式 化成正弦、余弦, 或者利用公式 化成正切; 适用于表达式中含有 与 题型.
(2)“1” 的变换: ; 适用于表达式中需要利用 “1” 转化题型.
(3)和积转换: 利用关系式 进行变形、转化; 适用于表达式中含有 或 题型.
(4)分式中分子与分母是关于 ， 的齐次式，往往转化为关于 的式子求解.
130

三角函数的诱导公式（“偶不变”型）

(1)
(2)
(3)
(4)
高考真题2024·全国甲卷·理第8题单选
已知 ，则 （　　）
A．
B．
C．
D．
答案 B
解析 由 得 即 ，故 再由诱导公式 代入得 故选 B。
变式一已知 ，则 ________．
变式二已知 ，求 的值。
131

三角函数的诱导公式（“奇变”型）

(1)
(2)
(3)
(4)
132

利用诱导公式化简三角函数的步骤

(1)将角统一写作 的形式；
(2)当 为奇数时, 正弦变余弦, 余弦变正弦; 当 为偶数时, 函数名保持不变;
(3)无论 有多大，一律看作“锐角”，判断 所在象限，将所在象限对应的三角函数符号作为结果的符号.
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限.
133

“五点法”作图原理

(1)在确定正弦函数 在 上的图象形状时，起关键作用的五个点是：
.
(2)在确定余弦函数 在 上的图象形状时，起关键作用的五个点是：
.
【提醒】五点法作图有三步：列表、描点、连线(注意光滑).
134

三角函数的图象和性质

函数y=sinxy=cosxy=tanx
图象xyO1¡1¡¼2¼2¼3¼2xyO1¡1¡¼¡¼2¼2¼xyO¡¼2¼2
定义域RR
最小正周期2π2ππ
奇偶性奇函数偶函数奇函数
递增区间
递减区间 无
值域[-1,1][-1,1]R
最大值 无
最小值 无
对称中心(kπ, 0)
对称轴方程 无
135

求解三角函数的值域(最值)的常见类型及方法:

(1)形如 的三角函数用辅助角公式化为 的形式，再求最值(值域);
(2)形如 的三角函数，可先设 ，化为关于 t 的二次函数求值域(最值);
(3)形如 的三角函数，可设 ，化为关于 的二次函数求解.
(4) （或 ）型，可用分离常数法或有界性法来解决
136

求 型函数单调区间

(1)当 时，令 ，即将 视为一个整体，根据函数 的单调区间列不等式求出单调区间.
(2)当 或 时，使用复合函数的单调性结论决定 所属范围列不等式.
【提醒】 和 型函数单调区间求解思维类似，即将 视为一个整体去吻合对应基本函数对应图象和性质进行求解.
高考真题2025·新高考Ⅱ卷·第15题解答
已知 ，且 ． （1）求 的值； （2）设 ，求 的值域和单调区间．
答案 （1）； （2） 的值域为 ；单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，。
解析 （1），结合 得 。 （2）此时 ，且 于是 因此 的值域为 。 由 得递增区间 ； 由 得递减区间 。
变式一已知 ，求 的最小正周期和单调递增区间。
变式二已知 ，求 的值域和单调递减区间。
137

求函数 图象的对称性

(1)对称轴：令 ，解得 即为对称轴直线方程.
(2)对称中心：令 ，解得 ，则 即为图象的对称中心.
高考真题2023·全国乙卷·文第10题单选
已知函数 在区间 单调递增，直线 和 为函数 的图象的两条对称轴，则 （　　）
A．
B．
C．
D．
答案 D
解析 两条对称轴之间的距离为 ，它正是一个单调区间的长度，故 此时 。由 是对称轴知 在 上单调递增，取 （此时 从 变到 ，函数递增），故 。 故选 D。
变式一已知 ，则 的图象的一条对称轴方程是 ________．
变式二已知 的图象关于直线 对称，且 ，若 ，求 的一个值。
138

求函数 图象的对称性

(1)对称轴：令 ，解得 即为对称轴直线方程.
(2)对称中心：令 ，解得 ，则 即为图象的对称中心.
139

求函数 图象的对称性

(1)对称轴：无
(2)对称中心：令 ，解得 ，则 即为图象的对称中心.
高考真题2025·新高考Ⅰ卷·第4题单选
若点 是函数 的图象的一个对称中心，则 的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 函数 的对称中心是 ，平移后 的对称中心满足 取 的最小值，即 ，得 。 （也可由 的图象关于点 对称直接得到。） 故选 C。
变式一已知函数 的图象的一个对称中心是（　　）
变式二已知点 是函数 图象的一个对称中心，且 ，求 的最小值。
140

三角函数奇偶性有关的结论

(1)若 为偶函数，则 ；（用x=0时 理解） 若 为奇函数，则 。（用x=0时 理解）
(2)若 为偶函数，则 ；（用 时 理解）
若 为奇函数，则 。（用 时 理解）
(3)若 为奇函数，则 （用 时 理解）
【提醒】理解记忆的方式使用了对称性结论.
141

三角函数周期的求解方法

(1)定义法：直接利用周期函数的定义求周期.
(2)公式法: 和 的最小正周期为 , 的最小正周期为 .
(3)图象法: 利用三角函数图象的特征求周期, 如: 正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 , 相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 ; 正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 .
142

三角函数值相等时两角的关系

(1) 或
(2) 或
(3)
143

两角和与差的余弦、正弦

(1)
(2)
(3)
(4)
高考真题2024·新高考Ⅰ卷·第4题单选
已知 ，，则 （　　）
A．
B．
C．
D．
答案 A
解析 由 得 。 又 ，代入得 于是 。 故 故选 A。
变式一已知 ，，求 的值。
变式二已知 ，，且 均为锐角，求 的值。
144

辅助角公式

(1)辅助角正弦公式：
其中 ， ， ，角 为辅助角.
(2)辅助角余弦公式：
其中 ， ， ，角 为辅助角.
145

两角和与差的正切及变形公式

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
均不等于
146

二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1) ;
(2)
(3) 且
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第8题单选
已知 ，，则 （　　）
A．
B．
C．
D．
答案 B
解析 由 及 ，得 于是 由二倍角的余弦公式 故选 B。
变式一已知 ，，求 与 的值。
变式二已知 ，（ 均为锐角），求 的值。
147

二倍角公式变形运用

(1) .
(2)升幂公式： ， .
(3)降幂公式：
高考真题2022·新高考Ⅰ卷·第18题解答
记 的内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 （1）若 ，求 ； （2）求 的最小值．
答案 （1）； （2） 的最小值为 。
解析 由二倍角公式 ，，得 又 ，故 （1）此时 ，代入得 ，即 。 （2）令 ，则 ，，。由正弦定理 记 ，则 故 令 ，则 ，令 得 。此时 且 ，故最小值为 。
变式一在 中，已知 ，求 与 的关系。
变式二在 中，已知 ，判断 的形状。
148

半角公式

(1)
(2)
(3)
【提醒】公式中的正负号由 所在的象限决定.
149

积化和差

学霸 ★
(1)
(2)
(3)
(4)
150

和差化积

学霸 ★
(1)
(2)
(3)
(4)
151

三角万能公式

学霸 ★
(1)
(2)
(3)
【提醒】仅公式各部分均有意义时成立.
152

角的代换方法

将 “未知角” 用 “已知角” 表示出来，使之能直接运用公式，像这样的代换方法称为角的代换．常用的角的代换方法举例如下：
(1)单角化复角
①
③ .
(2)单角化倍角：
(3)复角化复角
① ； 。
④ .
153

三角函数式化简的常用方法

(1)变角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角恒等变换公式，能求值的求出值，减少角的个数.
(2)变名: 统一三角函数名称, 利用诱导公式、切化弦、升幂与降幂公式等实现名称的统一.
(3)变式：观察式子的结构特征、对式子进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，常见的技巧有：常值代换、逆用公式、遇到分式要通分、整式因式分解、二次式配方、去根号、降幂等.
【提醒】三角函数中常值代换方法有：
154

给值求角问题中，在选取函数时，需遵循原则：尽量求在确定范围内单调的三角函数值.

(1)已知某些角的正切值，优先选正切函数.
(2)已知某些角的正、余弦值，若角的范围是 或 ，选正、余弦函数皆可.
(3)已知某些角的正、余弦值，若角的范围是 或 ，优先选余弦函数。
(4)已知某些角的正、余弦值，若角的范围是 或 ，优先选正弦函数.
155

画 一个周期内的简图

(1)用五点法（列表、描点、连线）
x
0
0A0-A0
(2)用起点及周期快速作图步骤
①令 ，解得 ，即可确定起点位置；
②求周期 ，用起点加周期 可得终点位置；
③在起点到终点之间用平滑曲线补齐一个循环往复（注意 时图象有对称变化）；
④用对称性或起点加几份周期求得中间各个关键点坐标.
156

三角函数中的图象变换

(1)相位变换：① ，把 图象上所有的点向左( )或向右( )平行移动 个单位；
② ，把 图象上所有的点向左 ( ) 或向右 ( ) 平行移动 个单位.
(2)周期变换: ，把 图象上各点的横坐标伸长 或缩短 到原来的 倍(纵坐标不变).
(3)振幅变换： ，把 图象上各点的纵坐标伸长 或缩短 到原来的A倍(横坐标不变).
157

函数图象的伸缩变换

(1) 的图象，可将 图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变而得到.
(2) 的图象，可将 图象上所有点的纵坐标变为原来的 倍，横坐标不变而得到.
158

函数 的图象经变换得到 的图象的两种路径

(1)先平移后伸缩：画出 的图象 得到 的图象
得到 的图象 得到 的图象
向左(右)平移 个单位长度得到 的图象纵坐标变为原来的A倍得到 的图象
【提醒】注意先平移后伸缩和先伸缩后平移两种变换中平移量的区别.
159

由图象确定 的解析式的步骤

(1)求 ， 。确定函数的最大值 和最小值 ，则 ，
(2)求 ，确定函数的周期 ，则
(3)确定 值时，往往以寻找“五点法”中的关键点为突破口．具体如下：
① “第一点”(即图象上升时与 轴的交点)时， .
② “第二点” (即图象的“峰点”) 时， ;
③ “第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时， ；
④ “第四点”(即图象的“谷点”)时， ；
⑤ “第五点”时，
160

简谐运动中， 中各参数的物理意义

振幅周期频率相位初相
161

函数图象的辨识可利用以下方法排除、筛选：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；
(2)从函数的值域，判断图象的上下位置；
(3)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(5)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(6)从函数的极值点，判断图象的拐点；
(7)从函数的特殊点，排除不合要求的图象.
162

常见的抽象函数模型

学霸 ★
(1)直线型:
①若 恒有 ，可看作
②若 恒有 ，可看作
(2)指数型:
若 恒有 或 ，可看作 且
(3)对数型:
若 恒有 或 ，可看作 且
(4)幂函数型:
若 恒有 ，可看作
(5)三角函数型:
①若 恒有 ，可看作
② ，可看作
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第11题多选
已知函数 的定义域为 ，，则（　　）
A．
B．
C． 是偶函数
D． 为 的极小值点
答案 ABC
解析 在等式中取 ，得 ，A 正确。 取 ，得 ，故 ，B 正确。 取 ，得 ，故 ；再取 ，得 所以 是偶函数，C 正确。 由于 的解析式不确定（例如 满足条件），不能断定 是极小值点，D 错误。 故选 ABC。
变式一已知函数 的定义域为 ，且 ，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C． 为奇函数
D．
变式二已知 （），且 恒成立，求 的值。
COMPULSORY · 必修第二册

必修第二册

共 123 条知识点，5 章。

01

第六章 平面向量及其应用

42 条 · 原书 P39
163

向量的定义及表示

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量.
(2)向量的表示
①几何表示：借助有向线段来表示，此时有向线段的方向表示向量的方向；向量 的大小称为向量 的长度（或称模），记作 .
【提醒】向量的两个基本要素是大小、方向；有向线段包含三个基本要素是起点、方向、长度.
② 字母表示：印刷用黑体小写字母表示，书写用 表示.
164

向量的有关概念

(1)零向量: 长度为 0 的向量, 其方向是任意的, 记作 .
【提醒】零向量的方向是任意的.
(2)单位向量：长度等于1个单位的向量．与向量 共线的单位向量是
(3)平行向量: 又称共线向量, 方向相同或相反的非零向量, 记作 . 规定: 与任一向量平行.
(4)相等向量：长度相等且方向相同的向量，记作 .
(5)相反向量: 长度相等且方向相反的向量, 的相反向量记作 .
165

向量的加法

(1)定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
(2)几何运算：①三角形法则（首尾相接，始向量起点指向终向量终点）.
【提醒】首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即 ；特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量.
②平行四边形法则（起点相同，以两向量为邻边构造平行四边形，所夹对角线向量为所求）. 【提醒】①若 是不共线的两个向量，则 和 是以 为邻边的平行四边形的对角线所表示的向量；② .
(3)坐标运算：设 ， ，则
166

向量的减法

(1)定义：求两个向量差的运算， ，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.
(2)几何运算：三角形法则（起点相同，减向量终点指向被减向量终点，如 ）
(3)坐标运算：设 ，则
167

向量的数乘

(1)规定实数 与向量 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 .
(2)几何运算： ，当 时， 与 的方向相同；当 时， 与 的方向相反；当 时， ：
(3)坐标运算：设 ，则
168

向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量。对于任意向量 ， ，以及任意实数 ， ， ，恒有 。
高考真题2024·新高考Ⅱ卷·第3题单选
已知向量 满足 ，，且 ，则 （　）
A.
B.
C.
D.
答案 B（）
解析 把模长条件平方展开，是求向量模长的基本手段。由 得 ，即 ，故 ；再由 得 ，即 ，解得 ，所以 。
变式一已知向量 满足 ，，，则 （　）
A.
B.
C.
D.
变式二已知向量 满足 ，，，则 （　）
A.
B.
C.
D.
169

向量共线定理

(1)几何表示：非零向量 与向量 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使 .
(2)坐标表示：设
高考真题2024·全国甲卷（理）·第9题单选
已知向量 ，，则（　）
A. “”的必要条件是“”
B. “”的必要条件是“”
C. “”的充分条件是“”
D. “”的充分条件是“”
答案 C
解析 两个向量共线的坐标表示是 。对 ，：垂直时 ，得 或 ，故“”是“”的充分条件（C 正确，A 中必要性不成立）；平行时 ，即 ，得 ，故 B、D 错误。
变式一已知向量 ，，若 ，则 （　）
A.
B.
C.
D.
变式二已知向量 ，，若 ，则 （　）
A.
B.
C. 或
D.
170

证明或判断三点共线的方法

(1)要判定A, B, C三点是否共线，只需看是否存在实数 ，使得 （或 等）且有公共点即可.
(2)利用结论：已知平面内一组基底 及任一向量 ， ，则 三点共线，当且仅当 。
171

分点恒等式

学霸 ★
(1)在 中， 为直线 上一点，且 ，那么
【特别地】当 为线段 中点（此时 ）时， .
(2)若 在线段 上，且 ，则对平面内的任意一点 ，都有 ：
172

等和线定理

学霸 ★
如图，平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点 在直线 AB 上或在平行于 AB 的直线上，则 （定值）；反之也成立。我们把直线 AB 以及与直线 AB 平行的直线称为“等和线”。
其中 ， .
(1)当等和线恰为直线 时, ；
(2)当等和线在 点和直线 之间时, ;
(3)当直线 在 点和等和线之间时， ;
OBB0PP0AA0l
(4)当等和线过 O 点时，k=0;
(5)若两等和线关于 O 点对称，则定值 k 互为相反数；
(6)定值 k 的变化与等和线到 O 点的距离成正比.
173

两向量的夹角

(1)定义: 已知两个非零向量 , , O 是平面上的任意一点, 作 , , 则 叫做向量 与 的夹角.
(2)三种特殊情况
a与b的夹角θa与b的关系
θ=0a与b同向
θ=πa与b反向
OABµ~b~a
θ=π/2a与b垂直,记作a⊥b
174

向量的数量积

(1)定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量 叫做向量 与 的数量积（或内积），记作 .
(2)几何运算：
几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积.
(3)坐标运算：若 ，则
高考真题2022·全国甲卷（理）·第13题填空
设向量 的夹角的余弦值为 ，且 ，，则 ______．
答案
解析 由数量积的定义 。再利用分配律与 ，得 。
变式一设向量 的夹角的余弦值为 ，且 ，，则 ______．
变式二已知 ，，，求 与 的值．
175

投影向量

设 , 是两个非零向量, , , 过 的起点 和终点 , 分别作 所在直线的垂线, 垂足分别为 , 得到 , 这种变换为向量 向向量 投影, 叫做向量 在向量 上的投影向量.
AB~aA1B1~bCD
【提醒】①向量 在 方向上的投影为 ;
②向量 在 方向上的投影向量为 .
176

向量的运算律

(1)设 ， 为实数，那么
① ; ② ; ③ .
(2)对于向量 , , , 和实数 , 有
① ; ② ③ .
特别地， ， .
177

平面向量数量积运算的常用公式

(1) .
(2) .
(3)
高考真题2023·新高考Ⅱ卷·第13题填空
已知向量 满足 ，，则 ______．
答案
解析 把模长条件平方展开：，，两式相等得 。再由 得 ，代入 得 ，故 。
变式一已知向量 满足 ，，则 ______．
变式二已知向量 满足 ，，，则 ______．
178

两向量垂直的等价条件

(1)几何表示： .
(2)坐标表示: .
高考真题2024·新高考Ⅰ卷·第3题单选
已知向量 ，，若 ，则 （　）
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 两向量垂直的充要条件是数量积为 ：，即 。代入坐标得 ，整理成 ，故 。
变式一已知向量 ，，若 ，则 （　）
A.
B.
C.
D.
变式二已知向量 ，，若 ，则实数 的值为（　）
A.
B.
C.
D.
179

夹角的计算：已知非零向量

(1)几何表示：
(2)坐标表示：
【提醒】向量夹角的范围是 .
高考真题2023·全国甲卷（理）·第4题单选
已知向量 满足 ，，且 ，则 （　）
A.
B.
C.
D.
答案 D（）
解析 由 得 ，两边取模平方：，即 ，得 。于是 ，，故 ；又 ，，所以 。
变式一已知向量 满足 ，，则 （　）
A.
B.
C.
D.
变式二已知向量 满足 ，，，则 （　）
A.
B.
C.
D.
180

利用向量判断角的范围

(1)两个向量 与 的夹角为锐角，则有 ，反之不成立(因为夹角为 与 同向
;
(2)两个向量 与 的夹角为钝角，则有 ，反之不成立（因为夹角为 与 反向 ）.
181

求向量的模（长度）处理方法

(1) .
(2) .
(3)若 ，则 .
(4)若 ，则
高考真题2025·新高考Ⅱ卷·第12题填空
已知平面向量 ，，若 ，则 ______．
答案
解析 由 得 ，即 ，整理得 。于是 ，。
变式一已知平面向量 ，，若 ，则 ______．
变式二已知平面向量 ，，若 ，则 ______．
182

平面向量基本定理

如果 、 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 ，有且只有一对实数 ， ，使 。其中，不共线的向量 、 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第3题单选
已知向量 ，. 若 ，则（　）
A.
B.
C.
D.
答案 D（）
解析 是两个不共线向量，可取为一组基底。由坐标运算 ，，垂直等价于 ，整理得 ，即 。
变式一已知 ，，若 ，，则 ______．
变式二已知 是两个不共线的单位向量，，，求 与 ．
183

平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ， 作为基底。对于平面内的一个向量 ，有且只有一对实数 ，使 ，把有序数对 叫做向量 的坐标，记作 ，其中 叫做 在 轴上的坐标， 叫做 在 轴上的坐标。
184

向量坐标的求法

设 ， ， ，则 ，
【提醒】终点坐标 B 等于起点坐标 A 加向量 （立体几何中求点坐标常用此法）.
185

设 ，则

(1)线段AB中点坐标为
【推广】定比分点坐标公式：已知点 是直线 上异于 的任意一点，且存在一个实数 ，使得 ，若 ，则 (2)△ABC的重心坐标为 .
186

极化恒等式

学霸 ★
(1)极化恒等式：设 为两个平面向量，则
ADBC~a~b
ABCM
(2)极化恒等式的几何意义：平面向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形
的“和对角线”与“差对角线”平方差的 ，即
(3)极化恒等式的三角形模式：在 中，若 是 的中点，则
187

奔驰定理及其推论

学霸 ★
(1)定理：已知 为 内一点，则有
ABCOSCSBSA
(2)推论：已知 为 内一点，且 ，则
①
② ， ， .
188

三角形的“四心”

(1)重心: 三角形的重心是三角形三条中线的交点, 它将每条中线分为两段, 长度比为 , 且由重心和三角形三个顶点组成的三个小三角形的面积相等.
(2)内心：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，也是三角形内切圆的圆心．从内心到三角形三边的距离相等，这个距离也被称为三角形的内切圆半径.
(3)外心: 三角形的外心是三角形三条中垂线的交点, 也是三角形外接圆的圆心. 外心到三角形三个顶点的距离相等, 这个距离也被称为三角形的外接圆半径.
(4)垂心：三角形的垂心是三角形三条高的交点．对于锐角三角形，垂心位于三角形内部；对于直角三角形，垂心位于直角顶点上；对于钝角三角形，垂心位于三角形外部.
189

重心的相关结论

若 为 的重心，则
(1) ;
(2) , , ;
(3) （ 为平面内任意一点）.
ABCG
190

内心的相关结论

若 为 的内心，则
(1) ;
ABCI
(2) 的角平分线必在向量 所在直线上，必过 的内心.
191

外心的相关结论

若 为 的外心，则
(1) （a是△ABC中角A所对的边长）；
(2) ;
ABCO
(3) .
192

垂心的相关结论

若 为 的垂心，则
ABCH
(1) .
(2) .
193

余弦定理

(1)内容：① ;
②
【提醒】余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例.
(2)变形形式：① ;
② ;
③ .
(3)运用：①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
(4)在 中，若 ，则 为直角；若 ，则 为锐角；若 则 为钝角.
高考真题2024·新高考Ⅰ卷·第15题解答
记 内角 的对边分别为 ，已知 ，． (1) 求 ； (2) 若 的面积为 ，求 ．
答案 (1) ；(2)
解析 (1) 由余弦定理 ，与已知比较得 ，故 ，；再由 得 ，故 。 (2) 于是 ，。设外接圆半径为 ，由 得 ，故 。
变式一在 中，，，则 ______．
变式二在 中，，，，则 ______， ______．
194

正弦定理

(1)内容： （ 为△ABC外接圆半径）
(2)变形形式：① ;
②
③
④
(3)运用：①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.
高考真题2025·新高考Ⅱ卷·第5题单选
在 中，，，，则 （　）
A.
B.
C.
D.
答案 A（）
解析 由余弦定理 。又 ，故 。 （另法：由 得 ，从而 ，结合选项即可判定。）
变式一在 中，，，，则 ______．
变式二在 中，，，，若 ，则 ______．
195

三角形中常用结论

在 中，角 所对的边分别记为 ，则
(1)内角和定理：
(2) (即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)
(3) (即大边对大角，大角对大边)
(4)内角 ， ， 成等差数列 ，
(5)射影定理： ； ；
(6)在斜 中，
(7)平行四边形定理: 平行四边形两条对角线的平方和等于四边的平方和, 即在平行四边形 中, 有 .
196

诱导公式在三角形中的应用

的三内角分别记为 ，则
(1) .
(2) ； ； （ 时）.
(3)
197

三角函数在三角形的应用

的三内角分别记为 ，则
(1) ； 或 .
(2) ; .
(3) 或 .
(4)锐角 中，
198

“爪形三角形”有关结论

(1)普遍适用结论：
① ，可使用 列式；
②分角定理： （由 的不同计算方式可
ABCD
③张角定理： （由 推导）
④若 （其中 ），则 .
(2) 为中线时：
①
② (中线长定理)；
③ ;
④ .
(3) 为高线时: 图中会出现两个直角三角形 , 可以在这两个直角三角形中大胆地使用直角三角形的正弦、余弦、正切定义.
(4) 为角平分线时：
① （角平分线定理）；
② （张角定理）；
③ (斯库顿定理).
199

在 中, 已知 和 , 判断 的解的情况:

A为锐角图形ABCab关系式a无解解的个数无解
ABCaba=bsinA一解
ABB0CbaabsinA两解两解
ABB0Cbaa≥b一解
A为钝角或直角ACbaa≤b无解
ACbaa&gt;b一解
【提醒】也常利用正弦定理结合“大角对大边，大边对大角”来判断三角形解的个数.
200

三角形常用面积公式

(1) （ 表示边a上的高）；
(2) ;
(3) （R为外接圆半径，r为内切圆半径， ）；
(4)在 中，若 ， ，则 .
201

三角形中的最值或取值范围问题

(1)求三角形面积的最大值（若边c角C已知）
利用余弦定理 ，求得 ab 的最大值，从而利用三角形的面积公式 求得三角形面积的最大值.
(2)求周长的最大值（若边 已知）
将 代入余弦定理 ，求得 的最大值，从而求得周长的最大值。
(3)求 的取值范围（若角 已知）
结合三角形的内角和定理将角 B 用角 A （角 A 用角 B ）表示，然后利用两角差的公式将其展开并化简，求出角 的取值范围，最后利用三角函数的图象与性质求出 的取值范围.
(4)求三角形中 的取值范围（若角 已知）
利用正弦定理的变形 进行转化，然后利用和角公式展开，
再进一步化简,根据已知条件求出 的取值范围,然后利用三角函数的图象与性质求出 的取值范围.
202

判断三角形形状的方法

(1)利用边的关系判断三角形形状的常用结论
①若 ，则 是以 C 为直角的直角三角形.
②若 ，则 中角 为锐角。
③若 ，则 为锐角三角形.
④若 ，则 是以 为钝角的钝角三角形.
⑤若 a = b，则 为等腰三角形.
⑥若 ，则△ABC为等腰三角形或直角三角形；
⑦若 a=b 且 ，则为等腰直角三角形.
(2)利用角的关系判断三角形形状的常用结论
①若 ，即 A = B 或 ，则 为等腰三角形或直角三角形.
②若 ，则 为以 A 为直角的直角三角形.
203

实际问题中的名词、术语

(1)基线的概念与选取原则
①基线：根据测量的需要而确定的线段叫作基线.
②选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度。一般来说，基线越长，测量的精确度越高。
(2)测量中相关角的概念
铅垂线视线视线仰角俯角水平视线
①仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示.
北南西东B®北南西东东南方向图①图②
②方位角: 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角, 如 B 点的方位角为 (如图①所示).
③方向角: 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角, 如北偏西 , 南偏东 (此时也称为东南方向, 如图②所示).
④坡角与坡比(坡度): 坡面与水平面的夹角为坡角 ; 坡面的竖直高度 与水平宽度 的比
为坡比
204

应用正、余弦定理解斜三角形应用题的一般步骤

(1)分析：理解题意，分析已知与未知，画出示意图.
(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型.
(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解三角形，求得数学模型的解.
(4)检验：检验上述所求的解是否具有实际意义，从而得出实际问题的解.
02

第七章 复数

10 条 · 原书 P49
205

复数的有关概念(其中 )

(1)定义：形如 的数叫做复数，其中 叫做虚数单位，满足 .
(2)表示方法：复数通常用字母 表示，即 ，其中 叫做复数 的实部， 叫做复数 的虚部.
(3)复数集：全体复数所构成的集合 叫做复数集.
(4)复数相等： 且 b=d.
高考真题2023·全国甲卷（理）·第2题单选
设 ，，则 （　）
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 复数乘法与多项式乘法类似，并利用 ：。由复数相等的含义，实部与虚部分别相等，得 且 ，解得 。
变式一设复数 （），若 ，则 ______．
变式二若复数 ，则 的实部与虚部之和为 ______．
206

复数的分类

(1)复数
纯虚数（ ），
虚数集实数集纯虚数集复数集
(2)复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系（右图）
【提醒】如果两个复数都是实数, 那么这两个复数具有大小关系, 如果两个复数不都是实数, 那么这两个复数只有相等和不相等两种关系, 而不能比较大小.
207

复平面及复数的几何意义

(1)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.
(2)实轴：直角坐标系中的 x 轴叫做实轴，实轴上的点都表示实数；
(3)虚轴：直角坐标系中的 轴叫做虚轴，除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
(4)复数 复平面内的点 .
(5)复数 平面向量 .
复数z=a+bi(a;b2R)复平面内的点Z(a;b)平面向量~OZ(起点为原点O)一一对应一一对应一一对应
高考真题2023·新高考Ⅱ卷·第1题单选
在复平面内， 对应的点位于（　）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
答案 A
解析 先做复数乘法：。复数 在复平面内对应的点为 ，故该点为 ，横纵坐标均为正，在第一象限。
变式一在复平面内， 对应的点位于（　）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
变式二已知复数 在复平面内对应的点为 ，则 ______， 的共轭复数对应的点为 ______．
208

复数的模

(1)定义：向量 的模叫做复数 的模或绝对值.
(2)记法：复数 的模记作 或 .
(3)公式： ，其中 .
【提醒】如果 b=0，那么 是一个实数 a，它的模就等于 (a 的绝对值).
(4) 的几何意义是复数 z 对应的点到原点的距离 .
(5) 的几何意义是复数 和 对应 和 的两点之间的距离
高考真题2024·新高考Ⅱ卷·第1题单选
已知 ，则 （　）
A.
B.
C.
D.
答案 C（）
解析 复数 的模 ，代入 ， 得 。
变式一已知复数 满足 ，则 的取值范围是 ______．
变式二已知复数 ，则 ______．
209

共轭复数

(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
(2)表示：复数 z 的共轭复数用 表示，即如果 ，那么 。
(3)性质：① ；② ， ， ；③ 。
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第2题单选
已知 ，则 （　）
A.
B.
C.
D.
答案 A
解析 复数除法分子分母同乘分母的共轭复数：，故 ，于是 。
变式一已知 ，则 ______．
变式二已知 ，则 ______， ______．
210

复数的加、减、乘、除运算法则

设 ，则
(1)加法：
(2)减法： ；
(3)乘法：
(4)除法：
【提醒】复数除法本质上是通过分子分母同乘 达到分母实数化的过程.
高考真题2024·新高考Ⅰ卷·第2题单选
若 ，则 （　）
A.
B.
C.
D.
答案 C（）
解析 分离常数：，故 ，，所以 。
变式一已知 ，则 ______．
变式二计算： ______．
211

复数加、减法的几何意义

如图所示，设复数 ， 对应向量分别为 ， ，四边形 为平行四边形，向量 与复数 对应，向量 与复数 对应.
xyOZ2z2Z1z1Z
【提醒】复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，复数减法的几何意义就是向量减法的三角形法则.
212

复数代数运算中的几个常用结论

(2) ； ； ； ；
(3)
(4)
高考真题2023·全国乙卷（理）·第1题单选
设 ，则 （　）
A.
B.
C.
D.
答案 B
解析 先化简分母：由 ，，得 。于是 ，所以 。
变式一已知 ，则 ______．
变式二已知复数 满足 ，且 ，则 ______．
213

复数范围内实系数一元二次方程 的解法

学霸 ★
(1)求根公式法
①当 时， ;
②当 时， .
(2)利用复数相等的定义求解
设方程的根为 ，将此式代入方程 ，化简后利用复数相等的定义求解.
214

复数的三角形式

学霸 ★
任何一个复数 都可以表示成 的形式，简称三角形式.
03

第八章 立体几何初步

48 条 · 原书 P51
215

空间几何体

(1)定义：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
(2)分类
①多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。
②旋转体：一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的轴.
216

棱柱的结构特征

(1)定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相
平行，由这些面围成的多面体.
(2)图示及相关概念
底面：两个互相平行的面.
侧面：底面以外的其余各面.
侧棱：相邻侧面的公共边.
ABCEDFA0B0C0E0D0F0侧面侧棱底面顶点
顶点: 侧面与底面的公共顶点.
(3)表示：用表示底面各顶点的字母来表示，如图棱柱记作棱柱
(4)分类：按底面多边形的边数分别叫做三棱柱、四棱柱……
高考真题2025·新高考Ⅰ卷·第9题多选
在正三棱柱 中， 为 中点，则（　）
A.
B. 平面
C. 平面
D.
答案 BC
解析 正三棱柱中 平面 ， 平面 ，故 ；底面 为正三角形且 为 中点，故 。于是 且 ，且 ，由线面垂直的判定定理得 平面 （B 正确）。又 ， 平面 ，且平面 平面 ，由线面平行的判定定理得 平面 （C 正确）。若 ，则 ，与 、 相交矛盾，D 错误；用空间向量法可验证 A 不成立。
变式一在正方体 中，下列结论正确的是（　）
A. 平面
B. 平面
C.
D. 平面
变式二在正三棱柱 中，若 ，，则该三棱柱的侧面积为 ______．
217

棱锥的结构特征

(1)定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的
多面体叫做棱锥.
(2)图示及相关概念
底面：多边形面.
侧面：有公共顶点的各个三角形面.
侧棱：相邻侧面的公共边.
顶点：各侧面的公共顶点.
SABCD顶点侧棱侧面底面
(3)表示: 用表示顶点和底面各顶点的字母来表示, 如图棱锥记作棱锥 .
(4)分类: 按底面多边形的边数分别叫做三棱锥、四棱锥……, 其中三棱锥又叫四面体.
218

棱台的结构特征

(1)定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫作棱台.
(2)图示及相关概念
上底面：原棱锥的截面.
下底面：原棱锥的底面.
侧面：除上、下底面以外的面.
侧棱：相邻侧面的公共边.
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点.
(3)表示：用表示底面各顶点的字母来表示，如图棱台记作棱台 .
(4)分类：由几棱锥截得，如三棱台、四棱台……
219

几个特殊的多面体

OA0B0C0D0ABCD上底面下底面侧面侧棱顶点
(1)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱.
(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱.
(3)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.
(4)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱.
(5)正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥.
(6)正四面体：各棱均相等的正三棱锥.
（注意：正三棱锥不一定是正四面体，正三棱锥只是底面为正三角形）
220

多面体展开图问题的解题策略

(1)绘制展开图：绘制多面体的展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型。在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其展开图。
(2)由展开图复原几何体: 若是给出多面体的展开图, 要求判断是由哪一个多面体展开的, 则可把上述过程逆推. 同一个几何体的展开图可能是不一样的, 也就是说, 一个多面体可能有多个展开图.
221

圆柱及相关概念

(1)定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫
(2)相关概念
轴：旋转轴叫做圆柱的轴.
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面.
侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面.
SA0O0AO轴底面侧面母线底面
母线：无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.
(3)表示: 用表示它的轴的字母表示, 图中圆柱记作 “圆柱 ”.
222

圆锥及相关概念

(1)定义: 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.
(2)相关概念
轴：旋转轴叫做圆锥的轴.
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面.
SO轴母线侧面底面
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面.
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线.
(3)表示: 用表示它的轴的字母表示, 图中圆锥记作 “圆锥 ”.
223

圆台及相关概念

(1)定义: 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥, 底面与截面之间的部分叫作圆台; 以直角梯形中垂直于底边的腰所在直线为旋转轴, 其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体是圆台.
(2)相关概念
轴：旋转轴叫做圆台的轴.
底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面叫做圆台的底面.
侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面叫做圆台的侧面.
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边叫做圆台的母线.
O0O底面轴侧面母线底面
(3)表示：用表示它的轴的字母表示，图中圆台记作“圆台 ”
224

球及相关概念

(1)定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球.
(2)相关概念
球心：半圆的圆心叫做球的球心.
半径：连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径.
直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫作球的直径.
O半径直径球心
(3)表示：用表示球心的字母表示，图中的球记作“球O”.
225

简单组合体的结构特征

(1)概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.
(2)有两种基本构成形式：一种是由简单几何体拼接而成的；另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成的.
高考真题2023·全国乙卷（理）·第3题单选
如图，网格纸上绘制的一个零件的三视图，网格小正方形的边长为 ，则该零件的表面积为（　）
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 由三视图还原几何体：该零件由长方体 （，）挖去一个长方体 得到。挖去的部分使表面少了 个边长为 的正方形，故 。
变式一一个正方体的棱长为 ，则它的表面积为 ______，体积为 ______．
变式二一个圆柱的底面半径为 ，高为 ，则它的侧面积为 ______，表面积为 ______．
226

斜二测画法画空间几何体直观图的步骤

(1)画轴：原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直，直观图中， 轴、 轴的夹角为 （或 ）， 轴与 轴、 轴所在平面垂直.
(2)画线：原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.
(3)取长度: 平行于 轴和 轴的线段在直观图中保持原长度不变, 平行于 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
【提醒】按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：
227

斜二测画法中的“三变”与“三不变”

“三变”
“三不变”
228

圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台
侧面展开图Orl2¼rlOrl2¼rOrl2¼r22¼r1l
侧面积公式
高考真题2024·新高考Ⅰ卷·第5题单选
已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为 ，则圆锥的体积为（　）
A.
B.
C.
D.
答案 B（）
解析 设底面半径为 ，则圆锥母线长 ，圆柱侧面积 ，圆锥侧面积 。由侧面积相等得 ，于是 ，。故圆锥体积 。
变式一一个圆锥的底面半径为 ，母线长为 ，则该圆锥的侧面积为 ______，高为 ______．
变式二将一个圆锥的侧面展开，所得扇形的圆心角为 ，若该圆锥的底面半径为 ，则它的体积为 ______．
229

圆柱、圆锥、圆台的表面积

（r是底面半径，l是母线长）
（r是底面半径，l是母线长）
（ ， 是上、下底面半径， 是母线长）
230

圆柱、圆锥、圆台的体积公式

（r 是底面半径，h 是高）
（r 是底面半径，h 是高）
（ ，r 是上、下底面半径，l 是母线长）
231

柱、锥、台、球的表面积和体积

几何体\名称表面积体积
柱体(棱柱和圆柱)
锥体(棱锥和圆锥)
台体(棱台和圆台)
球
高考真题2023·新高考Ⅱ卷·第14题填空
底面边长为 的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为 ，高为 的正四棱锥，所得棱台的体积为 ______．
答案
解析 由棱台性质知上下底面相似比为 ，故截后棱台的高为 ，上底面为边长 的正方形（），下底面为边长 的正方形（）。由棱台体积公式 得 。 （也可先求大棱锥高为 ，用“大棱锥体积减去小棱锥体积”计算。）
变式一一个圆台的上、下底面半径分别为 和 ，高为 ，则该圆台的体积为 ______．
变式二已知球的表面积为 ，则其体积为 ______．
232

求空间几何体体积的常用方法

(1)公式法：直接根据相关的体积公式计算.
(2)割补法：把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体.
(3)等体积转化法：根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些体积比等.
233

球的有关结论和简单切、接问题

(1)球半径 ，截面圆半径 ，球心到截面的距离 构成直角三角形，即
(2)正方体的棱长为 ，球的半径为 ，
①若球为正方体的外接球，则
②若球为正方体的内切球，则
③若球与正方体的各棱相切，则
(3)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 , 外接球的半径为 , 则
高考真题2025·新高考Ⅱ卷·第14题填空
一个底面半径为 ，高为 的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为 ______．
答案
解析 作圆柱的轴截面，问题是“一个矩形内放两个半径相等的圆”的平面问题：轴截面是 的矩形，两球与上、下底面及侧面相切。设铁球半径为 ，由切点关系得 ，即 ，解得 或 （后者与 及几何位置不符，舍去），故最大半径为 。
变式一一个球的半径为 ，则它的表面积为 ______，体积为 ______．
变式二要使一个半径为 的球能放入底面半径为 、高为 的圆柱形容器底部（容器壁厚度忽略不计），则 至少为 ______．
234

正四面体相关结论（棱长为 时）

学霸 ★
(1)正四面体高 .
(2)正四面体表面积 .
(3)正四面体体积 .
(4)正四面体外接球半径 .
(5)正四面体内切球半径 （外接球半径与内切球半径比值为3:1）
(6)正四面体棱切球半径 .
235.（供学霸用）
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第12题多选
下列物体中，能够被整体放入棱长为 （单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（　）
A. 直径为 的球体
B. 所有棱长均为 的四面体
C. 底面直径为 ，高为 的圆柱体
D. 底面直径为 ，高为 的圆柱体
答案 ABD
解析 A：正方体的内切球直径恰为 ，故直径 的球体可以放入，A 正确。 B：以正方体面对角线为棱长的正四面体，其棱长为 ，故棱长为 的正四面体可放入，B 正确。 C：正方体内两点距离最大为体对角线长 ，故高 的圆柱体无法放入，C 错误。 D：取正方体各棱中点所在的正六边形截面，其内切圆直径为 ，故底面直径 的扁圆柱可放入，D 正确。
变式一正四面体的棱长为 ，则它的外接球半径为 ______，内切球半径为 ______．
变式二正四面体的棱长为 ，则它的体积为 ______，表面积为 ______．
235

求外接球半径

学霸 ★
求外接球半径 的几种常见模型核心思路：空间中的外接球问题核心是找到球心和半径，对于球心把握两点：①球心必在经过几何体任意一个平面的外心且与此平面垂直的垂线上，②外接球球心必在几何体任意一条棱的中垂面上，球心确定之后，再将平面图进行分离，进而对半径进行求解即可。
(1)汉堡模型（垂面模型）：适用于圆柱、直棱柱、一条侧棱垂直底面的棱锥
A1C1B1O1OABO1
A1C1O1D1OABCO1
A1C1O1D1OABCO1
解题流程：找底面外接圆半径 ，找高 ，则
(2)斗笠模型：适用于圆锥、顶点在底面的射影是底面外心的棱锥（正棱锥）
PhORO1rA
PhORO1ABC
解题流程：找底面外接圆半径 r，找高 h，则
(3)墙角模型：适用于三组线线垂直型三棱锥
PBCAcha
PABCabc
O1PABCabc
PABCabc
ABCDA1B1C1D1
ABCDA1B1C1D1
ABCDA1B1C1D1
ABCDA1B1C1D1例外型
解题流程：先补成长方体，再找锥，找长方体的长宽高 ，则
(4)麻花模型（对棱相等模型）：适用于对棱长相等的三棱锥解题流程：先补成长方体，再找锥，找长方体的三类面对角线长x,y,z，则 . (5)怀表模型（折叠模型）：适用于两全等等腰三角形折叠式棱锥
ADBCxyzxabc
A0ABCOhr1作二面角剖面A0OEChr1r®
解题流程：找等腰三角形底边上的高 ，找外接圆半径 ，找二面角 ，则
(6)“L” 模型（切瓜模型）：适用于面面垂直型棱锥
PACB
ACDOO1RE
解题流程：找两个面外接圆半径 ，找面面交线长 ，则
(7)矩形模型：适用两个直角三角形的斜边为同一边
PABQO
解题流程：斜边为球的直径， （ 为斜边长度）
(8)鳄鱼模型：适用于普通三棱锥
PACOO1O2BMmn®
解题流程：找两个面外接圆圆心到交线的距离 ，找二面角 ，找面面交线长 ，则 （其中 ）
236

求内切球半径 的几种常见类型

学霸 ★
(1)直棱柱的内切球
以直三棱柱为例：直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，故直三棱柱内切球半径R等于底面三角形内切圆半径r.
【注意】不是所有直棱柱都有内切球，只有直棱柱的高 满足 时才有内切球.
(2)三棱锥的内切球（等体积法）
若三棱锥 A-BCD 的体积为 V，表面积为 S，则内切球的半径为 .
【注意】三棱锥一定有内切球，但四棱锥及以上不一定有内切球.
(3)正四、六、八棱锥的内切球（轴截面法）
通过底面对边中点的轴截面的内切圆为棱锥内切球的大圆，该内切圆的半径为内切球的半径.
PABCDMEFN
以正四棱锥为例：设E、F分别为棱AB、CD的中点，则 的内切圆即为该正四棱锥P-ABCD的内切球的大圆，故内切球的半径 （由等面积法推导）.
(4)圆柱的内切球
O1OO2
不是所有的圆柱都有内切球，只有当圆柱的高h与圆柱的底面半径r满足h=2r时才有内切球，此时圆柱的轴截面为正方形时，内切球的半径为圆柱的底面半径r.
(5)圆锥的内切球
圆锥的轴截面为等腰三角形，等腰三角形的内切圆为内切球的大圆，内切圆的半径即为内切球的半径.
PABM
设圆锥底面半径为 ，高为 ，则 ，
所以
237

平面的画法及表示法

我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.
当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向，如图①；
当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向，如图②.
ABCD®
图①
¯
图②
图①的平面可表示为平面 、平面ABCD、平面AC或平面BD.
238

点、线、面之间的关系及符号表示（A 是点，l, m 是直线， ， 是平面）

文字语言符号语言图形语言
A在l上
A在l外lA
A在α内®A
A在α外®A
l在α内l®
l在α外l®
l,m相交于AlmA
l,α相交于A®l
α,β相交于ll®¯
239

平面的三个基本事实（公理）

基本事实文字语言图形语言符号语言作用
事实1过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面®ABCA,B,C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A,B,C∈α1可用来确定一个平面;2证明点线共面.
事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内®lABA∈l,B∈l,且A∈α,B∈α⇒l⊂α1检验平面;2判断直线在平面内;3由直线在平面内判断直线上的点在平面内.
事实3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线®¯PlP∈α,且P∈β⇒α∩β=l,且P∈l1可用来确定两个平面的交线;2判断或证明多点共线;3判断或证明多线共点.
文字语言图形语言符号语言
推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面®lAA∉l⇒有且只有一个平面α,使A∈α,l⊂a
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面®abPa∩b=P⇒有且只有一个平面α,使a⊂a,b⊂a
推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面®aba∥b⇒有且只有一个平面α,使a⊂a,b⊂a
240

基本事实的推论

文字语言图形语言符号语言
推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面®lAA∉l⇒有且只有一个平面α,使A∈α,l⊂a
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面®abPa∩b=P⇒有且只有一个平面α,使a⊂a,b⊂a
推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面®aba∥b⇒有且只有一个平面α,使a⊂a,b⊂a
241

证明共点、共线、共面问题

(1)证明线共点问题的方法：先证其中两条直线交于一点，再证交点在第三条直线上.
(2)证明点共线问题的方法：
①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；
②直接证明这些点都在同一条特定直线上（如基本事实3）.
(3)证明空间的点、线共面的方法
①纳入法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面内；
②同一法：先证有关点、线确定平面 ，再证其余点、线确定平面 ，最后证明平面 ， 重合；
③反证法：可以假设这些点和直线不在同一个平面内，然后通过推理，找出矛盾，从而否定假设，肯定结论。
242

空间中两条直线的位置关系

共面直线 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点
【提醒】异面直线画法（常用平面衬托）
aAb®baBA¯®
243

空间中直线与平面的位置关系

位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外
直线a与平面α相交直线a与平面α平行
公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点
符号表示a⊂aa∩a=Aa//a
图形表示®a®Aa®a
244

空间中平面与平面的位置关系

位置关系两个平面平行两个平面相交
公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)
符号表示
图形表示®¯®¯l
245

“线线平行” “线面平行” “面面平行”的相互转化

线面平行线线平行面面平行124365
图形展示符号语言文字语言
12®ba¯a®ba6½®b½®akb9=;)ak® 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
3®abA¯mnB 一个平面内的两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线分别平行,那么这两个平面平行.
4®¯° 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
5¯®abP 一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行,则这两个平面平行.
6®¯a 两个平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面平行.
高考真题2024·全国甲卷（理）·第10题单选
设 ， 是两个平面，， 是两条直线，且 ．下列四个命题： ①若 ，则 或 ； ②若 ，则 ，； ③若 ，且 ，则 ； ④若 与 和 所成的角相等，则 ． 其中所有真命题的编号是（　）
A. ①③
B. ②④
C. ①②③
D. ①③④
答案 A
解析 ①当 时由 ， 得 ；当 时同理得 ；当 在两平面外时，由线面平行的性质定理同样成立，故 ① 正确。 ②由 只能推出 垂直于其中一个平面（或与两平面所成角相等），不能推出同时垂直于两平面，② 错误。 ③过 作平面分别交 于 ，由线面平行的性质定理得 ，，故 ；又 ，，，故 ，从而 ，③ 正确。 ④当 ， 时 与两平面所成角都是 ，但此时 而非 ，④ 错误。
变式一设 是两个平面， 是两条直线，则下列命题正确的是（　）
A. 若 ，，则
B. 若 ，，则
C. 若 ，，则
D. 若 ，，，则
变式二已知平面 ，平面 内的直线 平面 ，则（　）
A.
B.
C. 或
D. 与 平行或相交
246

异面直线所成的角

(1)定义: 已知两条异面直线 , 经过空间任一点 分别作直线 , 把直线 与 所成的角叫做异面直线 与 所成的角(或夹角).
(2)范围：设 为异面直线a与b所成的角，则 的取值范围是 .
247

求两异面直线所成的角的步骤

(1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角；
(2)证：证明作出的角就是所要求的角；
(3)计算：求角的值，常利用解三角形得出.
【提醒】可用“一作二证三计算”来概括，同时注意异面直线所成角的范围是 .
高考真题2022·全国甲卷（理）·第7题单选
在长方体 中，已知 与平面 和平面 所成的角均为 ，则（　）
A.
B. 与平面 所成的角为
C.
D. 与平面 所成的角为
答案 D
解析 设 ，，。 与平面 所成的角为 ，得 ，即 ； 与平面 所成的角为 ，得 ，即 ，故 。又 ，得 。 对 D： 与平面 所成的角为 ，，故该角为 ，D 正确。 对 A：，错；对 B：过 作 于 ，，不是 ，错；对 C：，错。
变式一在正方体 中，直线 与平面 所成的角的正切值为 ______．
变式二在长方体 中，，，，则异面直线 与 所成角的余弦值为 ______．
248

直线与直线垂直

(1)定义：如果两条异面直线所成的角是直角，那么就说这两条异面直线互相垂直.
(2)记法：直线 与直线 垂直，记作 .
【提醒】除定义外，还可利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等证明空间中两条直线垂直.
249

直线与平面垂直

定义如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,就说直线l与平面α互相垂直®Pl
记法l⊥α
有关直线l叫做平面α的垂线,平面α叫做直线l的垂面.直
概念线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足
图示及画法画直线与平面垂直时,通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
(1)有关概念
250

直线和平面所成的角

①斜线：一条直线 l 与一个平面 相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.
②斜足：斜线和平面的交点 叫做斜足.
®lPAµO
③射影：过斜线上斜足以外的一点 P 向平面 引垂线 PO，过垂足 O 和斜足 A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影.
(2)直线与平面所成的角
①定义: 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角, 叫做这条直线和这个平面所成的角. ②规定：一条直线垂直于平面，则它们所成的角是 ; 一条直线和平面平行，或在平面内，则它们所成的角是 .
③范围：直线与平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°.
251

求直线与平面所成的角的步骤

(1)作图：作(或找)出斜线在平面上的射影，将空间角转化为平面角，过斜线上斜足以外的一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.
(2)定角：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
高考真题2024·新高考Ⅱ卷·第7题单选
已知正三棱台 的体积为 ，，，则 与平面 所成角的正切值为（　）
A.
B.
C.
D.
答案 B（正切值为 ）
解析 设棱台的高为 ，把三条侧棱延长交于一点 ，作 平面 于 ，则 交平面 于 。由 知 ，；又 ，。 于是 ，解得 。 由正三棱台性质知 为底面 的中心，。又 平面 ，故 就是 与平面 所成的角，于直角三角形 中 故选 B。
变式一在正方体 中，直线 与平面 所成角的正切值为 ______．
变式二在长方体 中，，，，则直线 与平面 所成角的正切值为 ______．
252

空间距离

(1)点到平面的距离（几何法）
①定义法：根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离；
②等体积法：先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式 求出点到平面的距离h.
(2)直线与平面的距离：一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
(3)平面与平面的距离：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
【提醒】注意用好空间中距离的转化.
253

二面角

(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
(2)画法：
l®¯直立式lAB¯®PQ平卧式
(3)记法：二面角α-l-β或二面角α-AB-β或二面角P-l-Q.
254

二面角的平面角

(1)在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图.
¯l®OAB
(2)二面角的平面角 的取值范围是 .
平面角是直角的二面角叫做直二面角.
(3)面面垂直的定义: 两个平面相交, 如果它们所成的二面角是直二面角, 就说这两个平面互相垂直. 记法:
【提醒】平面与平面所成角的范围：
高考真题2023·新高考Ⅱ卷·第9题多选
已知圆锥的顶点为 ，底面圆心为 ， 为底面直径，，，点 在底面圆周上，且二面角 为 ，则（　）
A. 该圆锥的体积为
B. 该圆锥的侧面积为
C.
D. 的面积为
答案 AC
解析 取 中点 ，连接 、。由 及 知 ，，故 就是二面角 的平面角，等于 。 在 中由余弦定理得 ，从而 ，。 A：，正确；B：侧面积 ，错误；由 平面 知 ， 为等腰直角三角形，，，，C 正确；D：，，错误。
变式一二面角 的平面角为 ，则该二面角的余弦值为 ______．
变式二在正方体 中，二面角 的余弦值为 ______．
255

“线线垂直” “线面垂直” “面面垂直”的转化

线线垂直线面垂直面面垂直1234
图形展示符号语言文字语言
1®abOl 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.
2®abOl 若一条直线垂直于一个平面,则它垂直于这个平面内的任何一条直线.
3®¯l 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直.
4®¯al 两个平面垂直,如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线,那么这条直线与另一个平面垂直.
256

平行和垂直的唯一性结论

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.
257

涉及平行和垂直的一些结论

(1)平行公理（基本事实4）：平行于同一条直线的两条直线互相平行.
(2)空间等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补；
(3)平面平行的传递性：平行于同一个平面的两个平面平行；
(4)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等；
(5)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例；
(6)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
(7)（直线与平面垂直的性质定理）垂直于同一个平面的两条直线平行；
(8)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；
(9)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则它也和另一个平面垂直；
(10)如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的平行线垂直；
(11)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么他们的交线垂直于第三个平面.
258

三垂线定理及其逆定理

(1)定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；
(2)逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直.
259

二面角平面角的找法

(1)定义法：在二面角的棱上找一点（一般取特殊点），在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，两射线所成角即为二面角的平面角；
(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条射线所成的角，即为二面角的平面角；
(3)三垂线定理法：如果两个平面相交，有过一个平面内的一点与另一个平面垂直的垂线，可过这一点向棱作垂线，连结两个垂足。应用三垂线定理可证明两个垂足的连线与棱垂直，那么就可以找到二面角的平面角。
260

定义法求二面角大小的步骤

(1)作：作出平面角
(2)证：证明所作的角满足定义，即为所求二面角的平面角
(3)求：将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小
【提醒】简称为“一作二证三求”.
261

射影面积公式法求二面角大小

已知平面 内一个多边形的面积为 ，它在平面 内的射影图形的面积为 ，平面 和平面 所成的二面角的大小为 ，则 。
【提醒】凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可用.
262

空间图形的翻折问题

(1)理解翻折过程中的“变”：过程是连续渐变的；点和线的变化；角度、长度等几何量的变化.
(2)理解翻折过程中的“不变”：翻折前后，仍然在一个平面上的元素性质不发生改变；翻折过程中，直线和平面的位置关系可能不变.
(3)掌握翻折过程中的特殊位置：翻折的起始位置；翻折过程中，直线与平面平行或垂直的特殊位置.
调查方式全面调查抽样调查
定义对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查.根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.
相关概念总体:在一个调查中,把调查对象的全体称为总体.个体:组成总体的每一个调查对象称为个体.样本:把从总体中抽取的那部分个体称为样本.样本量:样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量.
优缺点优点是精确,缺点是不易操作,需要耗费巨大的人力、物力.优点是花费少,效率高,易操作,缺点是不够精确.
高考真题2024·新高考Ⅱ卷·第17题解答
如图，平面四边形 中，，，，，点 满足 ，，将 沿 对折至 ，使得 ． (1) 证明：； (2) 求面 与面 所成的二面角的正弦值．
答案 (1) 见解析；(2)
解析 (1) 由 ，，， 及 ，结合等腰三角形的性质可得 ，即 平面 ；又 平面 ，故 。 (2) 由 ，， 得 ，又 ，而 ， 平面 ，故 平面 。 以 为原点， 为 轴正方向， 为 轴正方向， 为 轴正方向建立空间直角坐标系，则平面 的一个法向量为 ，平面 的一个法向量为 ，故所成二面角的余弦值为 ，正弦值为 。
变式一在矩形 中，，，将矩形沿对角线 折成二面角 ，则 ______．
变式二将一个边长为 的正方形纸片 沿对角线 折起，使平面 与平面 垂直，则异面直线 与 所成角的余弦值为 ______．
04

第九章 统计

18 条 · 原书 P64
263

全面调查与抽样调查

调查方式全面调查抽样调查
定义对每一个调查对象都进行调查的方法,称为全面调查,又称普查.根据一定目的,从总体中抽取一部分个体进行调查,并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法.
相关概念总体:在一个调查中,把调查对象的全体称为总体.个体:组成总体的每一个调查对象称为个体.样本:把从总体中抽取的那部分个体称为样本.样本量:样本中包含的个体数称为样本容量,简称样本量.
优缺点优点是精确,缺点是不易操作,需要耗费巨大的人力、物力.优点是花费少,效率高,易操作,缺点是不够精确.
(1)定义
放回简单随机抽样不放回简单随机抽样
概念设一个总体含有 为正整数)个个体,从中逐个抽取 个个体作为样本
如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
特征1个数有限;2逐个抽取;3等概率抽取.
高考真题2024·新高考Ⅱ卷·第4题单选
某农业研究部门在面积相等的 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：千克）并整理下表： 亩产量　　　　　　 频数　　　　　　　　　　　　 根据表中数据，下列结论正确的是（　）
A. 块稻田亩产量的中位数小于 千克
B. 块稻田中亩产量低于 千克的稻田所占比例超过
C. 块稻田亩产量的极差介于 千克到 千克之间
D. 块稻田亩产量的平均值介于 千克至 千克之间
答案 C
解析 本题是对 块稻田全部测量所得，属全面调查，数据整理为频数分布表。 A：前两组累计频数 ，前三组累计 ，第四组累计 ，故中位数落在 内，A 错误； B：亩产量低于 千克的稻田有 块，占 ，未超过 ，B 错误； C：最大值在 内，最小值在 内，故极差在 内，C 正确； D：以各组中点作代表估算，平均数约为 千克，大于 千克，D 错误。
变式一某校 名学生某次数学测验成绩的频数分布表为： 人， 人， 人， 人， 人，则成绩在 的学生占全班人数的比例为 ______．
变式二某工厂对一批产品进行质量检验，分成 ， 两类抽取样本， 类抽 件， 类抽 件，从抽到的 件中随机取 件，则这 件中恰有 件 类、 件 类的概率为 ______．
264

简单随机抽样

放回简单随机抽样不放回简单随机抽样
概念设一个总体含有 为正整数)个个体,从中逐个抽取 个个体作为样本
如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样
特征1个数有限;2逐个抽取;3等概率抽取.
265

总体平均数

(1)总体中有 N 个个体, 它们的变量值分别为 , 则称 为总体均值, 又称总体平均数.
(2)如果总体的 N 个变量值中，不同的值共有 个，不妨记为 ，其中 出现的频数 ，则总体均值还可以写成加权平均数的形式 .
266

样本平均数

如果从总体中抽取一个容量为 n 的样本，它们的变量值分别为 ，则称 为样本均值，又称样本平均数。在简单随机抽样中，我们常用样本平均数 去估计总体平均数 。
高考真题2025·新高考Ⅱ卷·第1题单选
样本数据 ，，，， 的平均数为（　）
A.
B.
C.
D.
答案 C（）
解析 样本平均数 。
变式一某小组 名同学的月消费额（单位：元）分别为 ，，，，，则这组数据的中位数与平均数分别为 ______，______．
变式二已知一组数据 的平均数为 ，则将每个数据都加上 后新数据的平均数为 ______．
267

分层随机抽样

(1)定义：按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.
(2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
高考真题2023·新高考Ⅱ卷·第3题单选
某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 名和 名学生，则不同的抽样结果共有（　）
A. 种
B. 种
C. 种
D. 种
答案 D
解析 两层人数之比为 ，按比例分配应从初中部抽取 人、从高中部抽取 人。分两步用分步计数原理：从初中部 人中选 人有 种，从高中部 人中选 人有 种，故共有 种。
变式一某单位有职工 人，其中青年职工 人，中年职工 人．现用分层随机抽样的方法从该单位抽取一个容量为 的样本，则应从青年职工中抽取 ______ 人．
变式二某校高一年级有男生 人，女生 人．现用分层随机抽样方法从中抽取一个容量为 的样本，则应从女生中抽取 ______ 人．
268

分层随机抽样的步骤

(1)分层：按某种特征将总体分成若干部分(层)
(2)计算抽样比：抽样比
(3)定数：按抽样比确定每层抽取的个体数
(4)抽样：各层按简单随机抽样方法抽取样本
(5)成样：综合各层抽样，组成样本
【提醒】总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比.
269

分层随机抽样中样本平均数的计算公式

在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为 和 ，抽取的样本量分别为 和 ，样本平均数分别为 ，总体的样本平均数为 ，则 ，我们可以用样本平均数 估计总体平均数 ：
270

获取数据的基本途径

获取数据的基本途径适用类型注意问题
通过调查获取数据对于有限总体问题,一般通过抽样调查或普查的方法获取数据要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法,并有效避免抽样过程中的人为错误
通过试验获取数据没有现存的数据可以查询严格控制试验环境,通过精心地设计安排试验,以提高数据质量
通过观察获取数据自然现象借助专业测量设备,通过长久地持续观察获取数据
通过查询获取数据众多专家研究过,其收集的数据有所存储必须根据问题背景知识“清洗”数据,去伪存真
271

频率分布直方图的画法

(1)求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差；
(2)决定组距与组数：组数 ，若 ，则组数为不小于 的最小整数；
(3)将数据分组，各组均为左闭右开区间，最后一组是闭区间；
(4)列频率分布表，一般为四列：分组、频数累计、频数、频率；（频率 ）
(5)画频率分布直方图，注意纵轴为
【提醒】①数据落在各小组内的频率 组距 小长方形的面积；各小长方形面积的总和等于
1．②注意区分频率分布直方图与条形统计图，两者的区别在于条形统计图的横坐标表示的是离散的随机变量，而频率分布直方图的横坐标表示的是连续的随机变量，连续的随机变量在某一点上是没有频率的.
统计图区别联系
条形图(1)直观反映数据分布的大致情况;(2)清晰地表示各个区间的具体数目;(3)会丢失数据的部分信息在同一组数据的不同统计图表中,计算出相应组的频数、频率应该相等
扇形图(1)清楚地看出数据分布的总体趋势及各部分所占总体的百分比;(2)丢失了原来的具体数据
折线图(1)表示数据的多少和数量增减变化情况;(2)制作过程类似于函数图象的画法,侧重体现数据的变化规律
高考真题2022·新高考Ⅱ卷·第19题解答
在某地区进行流行病调查，随机调查了 名某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据频率分布直方图： 年龄/岁　　　　　　　　　 频率/组距　　　　　　　　　 (1) 估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2) 估计该地区一位这种疾病患者年龄在区间 的概率； (3) 已知该地区这种疾病的患病率为 ，该地区年龄位于区间 的人口占该地区总人口的 ，从该地区任选 人，若此人年龄位于区间 ，求此人患该种疾病的概率（样本数据中的患者年龄位于各区间的频率作为患者年龄位于该区间的概率，精确到 ）．
答案 (1) 岁；(2) ；(3)
解析 (1) 频率分布直方图中“频率/组距”乘组距即为该组频率，各组频率依次为 ，，，，，，，，。以各组中点作代表，平均年龄为 即该地区这种疾病患者的平均年龄约为 岁。 (2) 设事件 表示“一位这种疾病患者年龄在区间 ”，则 。 (3) 设事件 表示“任选一人年龄位于区间 ”，事件 表示“任选一人患该疾病”，则 ，，，故 。
变式一某校随机抽取 名学生，统计其每天课外阅读时长（单位：分钟），得到频率分布直方图，纵轴为“频率/组距”，各组频率/组距依次为 ，，，，，，，组距为 ，则阅读时长在 的学生人数为 ______．
变式二某市 年参加高考体检的学生有 人，体检成绩按 ，，， 四档统计，各档人数之比依次为 ，则成绩在 的学生有 ______ 人．
272

条形图、扇形图和折线图的区别与联系

统计图区别联系
条形图(1)直观反映数据分布的大致情况;(2)清晰地表示各个区间的具体数目;(3)会丢失数据的部分信息在同一组数据的不同统计图表中,计算出相应组的频数、频率应该相等
扇形图(1)清楚地看出数据分布的总体趋势及各部分所占总体的百分比;(2)丢失了原来的具体数据
折线图(1)表示数据的多少和数量增减变化情况;(2)制作过程类似于函数图象的画法,侧重体现数据的变化规律
273

第 百分位数的定义及计算

(1)定义：一组数据的第 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 的数据小于或等于这个值，且至少有 的数据大于或等于这个值.
(2)计算一组 个数据的第 百分位数的步骤
①按从小到大排列原始数据.
②计算 .
③若 不是整数，而大于 的比邻整数为 ，则第 百分位数为第 项数据；
若 是整数，则第 百分位数为第 项与第 项数据的平均数.
(3)四分位数
第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数。其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等。
274

频率分布直方图中第 百分位数的计算

(1)确定百分位数所在的区间 .
(2)记小于 a 和小于 b 的数据所占百分比分别为 , , 则第 p 百分位数为
【提醒】也可确定百分位数所在区间后，通过让累积频率达到 列方程求解.
275

众数、中位数、平均数和方差的定义

(1)众数：一组数据中出现次数最多的数.
(2)中位数: 一组数据按大小顺序排列后, 处于中间位置的数. 如果个数是偶数, 则取中间两个数据的平均数.
(3)平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数；
(4)方差：标准差 的平方，即
其中 是样本数据的第 项， 是样本容量， 是平均数.
【提醒】平均数用于分析平均水平，方差与标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，方差与标准差越大，数据的离散程度越大；方差与标准差越小，数据的离散程度越小.
高考真题2022·全国甲卷（理）·第2题单选
某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图（折线图，图中数据略）．则（　）
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
答案 B
解析 由图可读出：讲座前 个数据中第 、 个分别为 、，故中位数为 ，A 错；讲座后的数据中只有 个 、 个 ，其余均不小于 ，故平均数大于 ，B 对；讲座前的数据更分散，故其标准差大于讲座后的标准差，C 错；讲座后极差为 ，讲座前极差为 ，D 错。
变式一某班 名同学的身高（单位：cm）分别为 ，，，，，则这组数据的中位数是 ______，众数是 ______，极差是 ______．
变式二已知一组数据 的平均数为 ，方差为 ，则将每个数据都加上 后新数据的平均数与方差分别为 ______，______．
276

平均数、方差的性质

若数据 的平均数为 ，方差为 .
(1)数据 , , ..., 的平均数为 ，方差为 ;
(2)数据 ， ，…， 的平均数为 ，方差为 ;
(3)数据 ， ，…， 的平均数为 ，方差为
高考真题2024·新高考Ⅱ卷·第4题单选
某农业研究部门在面积相等的 块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量（单位：千克）并整理下表： 亩产量　　　　　　 频数　　　　　　　　　　　　 根据表中数据，下列结论正确的是（　）
A. 块稻田亩产量的中位数小于 千克
B. 块稻田中亩产量低于 千克的稻田所占比例超过
C. 块稻田亩产量的极差介于 千克到 千克之间
D. 块稻田亩产量的平均值介于 千克至 千克之间
答案 C
解析 本题考查平均数、中位数、极差等统计量的性质判断。 A：中位数的确定看累计频数，前三组累计 、第四组累计 ，中位数落在 ，A 错； B：低于 千克的占 ，B 错； C：最大值在 内、最小值在 内，极差在 内，C 对； D：以各组中点作代表估算，平均数约为 千克，D 错。
变式一一组数据 ，，，， 的平均数为 ______，方差为 ______．
变式二已知一组数据的平均数为 ，方差为 ，则每个数据都变为 后，新数据的平均数为 ______，方差为 ______．
277

总体方差和总体标准差

(1)总体方差和总体标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为 ，总体平均数为 ，则称 为总体方差， 为总体标准差.
(2)总体方差的加权形式：如果总体的 N 个变量值中，不同的值共有 个，不妨记为 ，其中 出现的频数为 ，则总体方差为 .
278

样本方差和样本标准差

如果一个样本中个体的变量值分别为 ，样本平均数为 ，则称 为样本方差， 为样本标准差.
279

分层随机抽样的方差

设样本容量为 n，平均数为 ，其中两层的个体数量分别为 ，两层的平均数分别为 ， ，方差分别为 ，则这个样本的方差为 .
280

用频率分布直方图估计众数、中位数、平均数、方差

(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数.
(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与 轴交点的横坐标称为中位数.
(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，
(4)方差 （ 为分组中值， 为对应频率）.
05

第十章 概率

17 条 · 原书 P68
281

随机试验

(1)定义：把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验.
(2)特点：①可重复性：试验可以在相同条件下重复进行；
②可预知性：试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；
③随机性: 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个, 但事先不能确定出现哪一个结果.
282

样本点和样本空间

定义表示
样本点随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点
样本空间全体样本点的集合称为试验E的样本空间
有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果 , , ..., ,则称样本空间 为有限样本空间
高考真题2022·新高考Ⅰ卷·第5题单选
从 至 的 个整数中随机取 个不同的数，则这 个数互质的概率为（　）
A.
B.
C.
D.
答案 D（）
解析 从 至 的 个整数中任取 个不同的数，共有 种等可能的结果，这 个结果构成样本空间 。其中不互质的取法有 共 种，故所求概率 。
变式一从 到 的 个整数中随机取 个不同的数，则这 个数之和为奇数的概率为 ______．
变式二同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则点数之和为 的概率为 ______；点数之和为偶数的概率为 ______．
283

找样本点的三种方法

(2)列表法：适用于试验中包含两个或两个以上的元素，且试验结果相对较多的样本点个数的求解问题，通常把样本点归纳为“有序实数对”，也可用坐标法.
(3)画树状图法：适用于较复杂问题中样本点的探求，需要分步（两步及两步以上）完成的情况.
284

事件的分类

随机事件我们将样本空间 的子集称为随机事件,简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件。随机事件一般用大写字母A,B,C,...表示。在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生
必然事件样本空间 作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以 总会发生,我们称 为必然事件
不可能事件空集 不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称 为不可能事件
285

事件的关系

定义符号图示
包含关系若事件A发生,则事件B一定发生,称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) (或 )¬AB
相等关系如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即 且 ,则称事件A与事件B相等 ¬A(B)
286

事件的运算

定义符号图示
并事件(或和事件)事件A与事件B至少有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,则称这个事件为事件A与事件B的非事件(或和事件)A∪B(或A+B)¬AB
交事件(或积事件)事件A与事件B同时发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,则称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) (或AB)¬AB
定义如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B=,则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义A与B不能同时发生
符号表示A∩B=
图形表示AB¬
287

互斥事件

定义如果事件A与事件B不能同时发生,也就是说A∩B是一个不可能事件,即A∩B=,则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义A与B不能同时发生
符号表示A∩B=
图形表示AB¬
定义如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即 ,且 ,那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为 .
含义A与B有且仅有一个发生
符号表示 且
图形表示A¹A¬
288

对立事件

定义如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即 ,且 ,那么称事件A与事件B互为对立.事件A的对立事件记为 .
含义A与B有且仅有一个发生
符号表示 且
图形表示A¹A¬
289

相互独立事件

相互独立事件相关内容
定义对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立
性质若事件A与B相互独立,那么A与 , 与B, 与 也都相互独立
高考真题2024·新高考Ⅱ卷·第18题解答
某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮 次，若 次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为 分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮 次，每次投中得 分，未投中得 分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和． 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 ，乙每次投中的概率为 ，各次投中与否相互独立． (1) 若 ，，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于 分的概率； (2) 假设 ， (ⅰ) 为使得甲、乙所在队的比赛成绩为 分的概率最大，应该由谁参加第一阶段的比赛； (ⅱ) 为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛．
答案 (1) ；(2)(ⅰ) 甲参加第一阶段的比赛；(ⅱ) 甲先参加比赛的得分期望更高
解析 (1) 记第一阶段通过的概率为 ，第二阶段得到不少于 分的概率为 。甲参加第一阶段时 ；第二阶段乙投 次至少中 次得不少于 分，。由各次投中与否相互独立，得所求概率 。 (2)(ⅰ) 若甲参加第一阶段，队伍成绩为 分的概率为 ；若乙参加第一阶段，概率为 。令两者作差并利用 可知前者更大，故应由甲参加第一阶段比赛。 (2)(ⅱ) 甲先参加时的得分期望为 ，乙先参加时为 ，两者作差并利用 可知前者更大，故甲先参加比赛的得分期望更高。
变式一甲、乙两人各射击 次，每次命中目标的概率分别为 和 ，各次射击相互独立，求两人至少有一人命中目标的概率与两人恰好各命中一次的概率．
变式二某射手每次射击命中目标的概率为 ，各次射击相互独立，求他射击 次恰好命中 次的概率．
290

判断两个事件是否相互独立的两种方法

(1)定义法：根据定义，看一个事件的发生是否影响另一事件的发生，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件.
(2)公式法: 通过式子 来判断两个事件是否独立, 若上式成立, 则事件 , 相互独立, 这是定量判断.
291

事件的概率

对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率，事件 A 的概率用 表示.
292

古典概型

(1)事件特征
①有限性：样本空间的样本点只有有限个；
②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.
(2)定义：将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型。
高考真题2024·新高考Ⅰ卷·第14题填空
甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 ，，，，乙的卡片上分别标有数字 ，，，，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选择一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 分，数字小的人得 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于 的概率为 ______．
答案
解析 固定甲的出牌顺序为 ，则乙的 种出牌顺序等可能，构成样本空间。逐一列举可得：甲总得分 分的有 种、 分的有 种、 分的有 种、 分的有 种。于是甲总得分不小于 的概率为 。
变式一袋中有 个白球、 个红球，从中随机摸出一球，摸到白球与红球的概率分别为 ______，______．
变式二从 到 的 个整数中随机选取 个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率为 ______．
293

古典概型的计算公式

设试验 E 是古典概型，样本空间 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率 .
其中， 和 分别表示事件 和样本空间 包含的样本点个数.
高考真题2022·全国甲卷（理）·第15题填空
从正方体的 个顶点中任选 个，则这 个点在同一个平面的概率为 ______．
答案
解析 从正方体 个顶点中任选 个共有 种等可能结果。所选 个点共面有两类情形：一是恰为正方体某个面的 个顶点，共 种；二是恰为正方体某个对角面上的 个顶点，也有 种。故所求概率 。
变式一从 到 的 个整数中随机选取 个不同的数，则这两个数互质的概率为 ______．
变式二袋中有 个红球、 个白球，从中有放回地摸两次，每次摸一个球，则两次都摸到红球的概率为 ______；恰好一红一白的概率为 ______．
294

求古典概型概率的步骤

(1)判断所给概率模型是否为古典概型；
(2)算出样本点的总数 n;
(3)算出事件 包含的样本点个数 ;
(4)算出事件 的概率，即
【提醒】样本点个数的统计方法：①计数原理、排列、组合公式法；②列举法；③列表法（适用于具有二维特征的事件）；④树状图法.
295

概率的基本性质

性质 1：对任意的事件 A，都有 .
性质 2：必然事件的概率为 1，不可能事件的概率为 0，即 ， 。
性质 3：如果事件 A 与事件 B 互斥，那么 .
推广：如果事件 两两互斥，那么事件 发生的概率等于这 m 个事件分别发生的概率之和，即 .
性质 4：如果事件 A 与事件 B 互为对立事件，那么 ， .
性质 5：如果 ，那么 .
性质 6: 设 A, B 是一个随机试验中的两个事件, 有 .
【提醒】只有当 ，即 互斥时， ，此时 . 性质7：如果事件 与事件 相互独立，则 .
高考真题2024·新高考Ⅰ卷·第14题填空
甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 ，，，，乙的卡片上分别标有数字 ，，，，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选择一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 分，数字小的人得 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）．则四轮比赛后，甲的总得分不小于 的概率为 ______．
答案
解析 “甲的总得分不小于 ”的对立事件是“甲的总得分不大于 ”，用对立事件求补可以简化计数。 固定甲的出牌顺序为 ，乙的 种出牌顺序等可能。逐一列举：甲总得 分有 种，得 分有 种，得 分有 种，得 分有 种。 于是所求概率 。
变式一从 到 的 个整数中随机选取 个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率为 ______．
变式二袋中有 个白球、 个红球，从中随机摸出一球，摸到白球与红球的概率分别为 ______，______．
296

解题过程中注意事件关系对概率分析的影响

若两个事件 发生的概率分别是 ，则它们之间的概率关系如下表所示：
事件情形概率表示A,B互斥时结果A,B相互独立时结果
A,B中至少有一个发生P(A+B)P(A)+P(B)1-P(A)P(B)
A,B都发生P(AB)0P(A)P(B)
A,B都不发生P(AB)1-[P(A)+P(B)]P(A)P(B)
A,B中恰有一个发生P(AB+AB)P(A)+P(B)P(A)P(B)+P(A)P(B)
A,B中至多有一个发生1-P(AB)11-P(A)P(B)
297

频率与概率的区别与联系

(1)频率是随机的：在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同.
(2)概率是确定值: 与每次试验无关, 是用来度量事件发生可能性大小的量.
(3)频率的稳定性：随着试验次数 的增大，事件 发生的频率 会逐渐稳定于事件 发生的概率 。因此，我们可以用频率 估计概率 。
方法抽签法用计算器或计算机产生
步骤或说明1标号:把n个大小、形状相同的小球分别标上1,2,3,...,n;2搅拌:放入一个袋中,把它们充分搅拌;3摸取:从中摸出一个.计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数,我们称为伪随机数。1规则:按照确定的算法产生。2特点:具有周期性(周期很长)。3性质:它们具有类似随机数的性质.
优点保证机会均等操作简单,省时、省力
缺点耗费大量人力、物力、时间,或不具有实际操作性由于是伪随机数,故不能保证完全等可能
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共 88 条知识点，3 章。

01

第一章 空间向量与立体几何

16 条 · 原书 P72
298

产生随机数方法

方法抽签法用计算器或计算机产生
步骤或说明1标号:把n个大小、形状相同的小球分别标上1,2,3,...,n;2搅拌:放入一个袋中,把它们充分搅拌;3摸取:从中摸出一个.计算机或计算器产生的随机数并不是真正的随机数,我们称为伪随机数。1规则:按照确定的算法产生。2特点:具有周期性(周期很长)。3性质:它们具有类似随机数的性质.
优点保证机会均等操作简单,省时、省力
缺点耗费大量人力、物力、时间,或不具有实际操作性由于是伪随机数,故不能保证完全等可能
299

利用随机模拟估计概率

(2)研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
(3)当每次试验结果需要 个随机数表示时，要把 个随机数作为一组来处理，此时一定要注意每组中的随机数字是否重复.
300

空间向量基本定理及正交分解

(1)如果三个向量 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组（ ），使得 。我们把 叫做空间的一个基底， 都叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
(2)如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示。由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 ，均可以分解为三个向量 ，使 。把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。
301

空间直角坐标系

(1)空间直角坐标系: 在空间选定一点 和一个单位正交基底 , 以点 为原点, 分别以 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴: 轴、 轴、 轴, 它们都叫做坐标轴, 这时就建立了一个空间直角坐标系 . 叫做原点, 都叫做坐标向量, 通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面, 分别称为 平面, 平面, 平面, 它们把空间分成八个部分.
(2)右手直角坐标系: 在空间直角坐标系中, 让右手拇指指向 轴的正方向, 食指指向 轴的正方向, 如果中指指向 轴的正方向, 则称这个坐标系为右手直角坐标系.
【提醒】高中阶段解题建系时请统一建立为右手直角坐标系.
(3)在空间直角坐标系 O-xyz 中， 为坐标向量，对空间任意一点 A，其向量 对应的有序实数组 ，叫做点 A 在空间直角坐标系中的坐标，记作 A ，其中 x 叫做 A 点的横坐标，y 叫做 A 点的纵坐标，z 叫做 A 点的竖坐标.
302

建立空间直角坐标系的常用方法

(1)利用共顶点且相互垂直的三条棱建系.
(2)利用线面垂直建系（利用线面垂直的性质定理得到线线垂直，建系）.
(3)利用面面垂直建系（利用面面垂直的性质定理得到线面垂直，进而得到线线垂直，建系）.
(4)利用图形中的对称关系建系（如正棱锥可利用底面中心及高所在的直线建系）.
303

空间直角坐标系中确定点坐标的方法

(1)射影法：看所求点分别在 x, y, z 轴的投影对应的数值.
(2)公式法：对中点、重心、 等分点等可用公式求解.
若点 ，则线段 的中点为
△ABC 的重心为 ;
点 在线段 上且 ，则 .
(3)向量法：①终点坐标 起点坐标 向量（寻求相等向量获得）；
②三点共线问题：若点 ，点 在线段 上，常设 后利用待定系数法求得点 C 坐标，（若题目最终是求 坐标，可跳过求点 C 坐标直接使用 求得 坐标，减少运算过程的失误率）。
(4)待定系数法：设点 ，利用已知条件求出 。（一般不推荐此法）
304

空间向量的坐标运算

(1)设 ，则
(2)设 ，则 中点坐标为
(3)设 ， 。则
①
②
③
④
高考真题2023·新高考Ⅱ卷·第20题解答
如图，在三棱锥 中，，，， 为 的中点．(1) 证明：；(2) 点 满足 ，求二面角 的正弦值．
答案 (1) 证明见解析；(2) 二面角 的正弦值为 ．
解析 设 ，以 为原点、、 所在直线为 、 轴建立空间直角坐标系，则 ，，，，由 得 ．，故 ；(2) 求出平面 与平面 的法向量 ，，，故所求正弦值为 ．
变式一同题设，求点 到平面 的距离．
变式二同题设，求直线 与平面 所成角的正弦值．
305

空间向量数量积的应用

设
(1)求模长：
(2)设 ，则
(3)求夹角：
306

空间中的一些特殊向量

(1)直线的方向向量：可在直线上任取一非零向量作为它的方向向量.
(2)平面的法向量：设 ， 是平面 内两不共线向量， 为平面 的法向量，则求法向量的方程组为 .
【提醒】求平面的法向量时，建立的方程组有无数组解，利用赋值法，只要给 中的一个变量赋一特殊值(常赋值-1,1)，即可确定一个法向量，但 不能作为法向量.
(3)共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量.
(4)投影向量：向量 向向量 投影，得到与向量 共线的向量 ，则 ，向量 称为向量 在向量 上的投影向量.
(5)位置向量：在空间中，取一定点 作为基点，那么空间中任意一点 就可以用向量 来表示．我们把向量 称为点 的位置向量.
307

空间向量平行与垂直的判断

设
(1)
(2)
308

向量共面定理

如果两个向量 ， 不共线，那么向量 与向量 ， 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 使 。
309

证明空间四点 共面的方法

(1) ;
(2)对空间任一点 ， ；
(3)对空间任一点 ， ( )。
310

向量法证明空间中的线面位置关系

设直线 的方向向量分别为 , , 平面 , 的法向量分别为 , .
(1)线线平行：
(2)线线垂直：
(3)线面平行 ：
(4)线面垂直：
(5)面面平行：
(6)面面垂直：
高考真题2022·新高考Ⅱ卷·第20题解答
如图， 是三棱锥 的高，，， 是 的中点．(1) 证明： 平面 ；(2) 若 ，，，求二面角 的正弦值．
答案 (1) 证明见解析；(2) 二面角 的正弦值为 ．
解析 (1) 连接 并延长交 于点 ，连接 ．由 平面 及 得 ，从而 为 的中点，又 为 的中点，故 ，得证；(2) 过 作 ，以 、、 所在直线为 、、 轴建系，求得平面 与平面 的法向量，两法向量夹角的余弦值的绝对值为 ，故二面角的正弦值为 ．
变式一同题设第(2)问条件，求 的长．
变式二同题设第(2)问条件，求直线 与平面 所成角的正切值．
311

用空间向量研究距离问题

(1)点到直线的距离
如图，直线l的单位方向向量为 ，A是直线l上的定点，P是直线l外一点。设 ，则向量 在直线l上的投影向量 。
lAQPu
在 中，由勾股定理，得点 到直线 的距离为
(2)点到平面的距离
如图，已知平面 的法向量为 ， 是平面 内的定点， 是平面 外一点。过点 作平面 的垂线 ，交平面 于点 ，则 是直线 的方向向量，且点 到平面 的距离就是 在直线 上的投影向量 的长度。因此 。
®lQPAn
高考真题2022·新高考Ⅰ卷·第19题解答
如图，直三棱柱 的体积为 ， 的面积为 ．(1) 求 到平面 的距离；(2) 设 为 的中点，，平面 平面 ，求二面角 的正弦值．
答案 (1) ；(2) ．
解析 (1) 由 得 ，解得 ；(2) 可推出 ， 且 ，以 为原点、、、 所在直线为 、、 轴建系，则 ，，，平面 与平面 的法向量分别为 ，，，故二面角的正弦值为 ．
变式一同题设，求点 到平面 的距离．
变式二同题设，求直线 与平面 所成角的正弦值．
312

用空间向量研究夹角问题

(1)两条异面直线所成角
若异面直线 所成的角为 ，其方向向量分别是 ，则 .
(2)直线与平面所成的角
设直线 与平面 所成的角为 ，直线 的方向向量为 ，平面 的法向量为 ，则
(3)平面与平面的夹角
若平面 ， 的法向量分别是 ，则平面 与平面 的夹角即向量 和 的夹角或其补
角，设平面 与平面 的夹角为 ，则
【提醒】①平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角.
②若题目是求二面角 的大小，则 或 ，要注意结合实际图形选择取锐角还是钝角，当图形不易判断时，可用法向量方向帮助判断（规律：同进同出，两角互补；一进一出，两角相等）.
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第18题解答
如图，在正四棱柱 中，，．点 分别在棱 上，，，．(1) 证明：；(2) 点 在棱 上，当二面角 为 时，求 ．
答案 (1) 证明见解析；(2) 或 ．
解析 以 为原点、、、 所在直线为 、、 轴建系，则 ，，，，，得证；(2) 设 ，平面 的法向量为 ，平面 的法向量为 ，由 解得 或 ，故 或 ．
变式一同题设，求异面直线 与 所成角的余弦值．
变式二同题设，求点 到平面 的距离．
313

解决立体几何中探索性问题的基本方法

(1)通常假设题中的数学对象存在（或结论成立），然后在这个前提下进行逻辑推理.
(2)探索性问题的关键是设点:
①空间中的点可设为 ;
②坐标平面内的点其中一个坐标为0，如Oxy面上的点为 ;
③坐标轴上的点两个坐标为0，如z轴上的点为 ;
④直线（线段）AB上的点P，可设为 ，表示出点P的坐标，或直接利用向量运算.
高考真题2024·新高考Ⅰ卷·第17题解答
如图，四棱锥 中， 底面 ，，，．(1) 若 ，证明： 平面 ；(2) 若 ，且二面角 的正弦值为 ，求 ．
答案 (1) 证明见解析；(2) ．
解析 (1) 由 底面 得 ，又 ，故 平面 ，得 ；由 得 ，所以 ，得证；(2) 由 知 ，设 ，以 为原点、、 所在直线为 、 轴建系，则 ，求出平面 与平面 的法向量，由 解得 ，即 ．
变式一在题设(1)的条件下，求点 到平面 的距离．
变式二在题设(2)的条件下，求三棱锥 的体积．
02

第二章 直线和圆的方程

31 条 · 原书 P76
314

直线的倾斜角

(1)定义：当直线l与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)范围：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 。因此，直线的倾斜角 的取值范围为 。
315

直线的斜率

(1)定义：把一条直线的倾斜角 的正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母 表示，
即 .
【提醒】①倾斜角是 的直线没有斜率，倾斜角不是 的直线都有斜率.
②斜率随倾斜角变化情况：当倾斜角从 时，斜率从 ；当倾斜角从 时，斜率从 。
®kO
③当 时，直线的倾斜角是 ；当 时，直线的倾斜角是锐角；当 时，直线的倾斜角是钝角.
(2)公式：如果直线经过两点 ，则斜率公式
高考真题2022·新高考Ⅱ卷·第3题单选
图1是中国古代建筑中的举架结构， 是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举．图2是某古代建筑屋顶截面的示意图，其中 是举， 是相等的步，相邻桁的举步之比分别为 ，，，．已知 成公差为 的等差数列，且直线 的斜率为 ，则
A．
B．
C．
D．
答案 D
解析 设每步水平长度为 ，则 ，，直线 的斜率等于四段举之和与四段步之和的比，即 ，解得 ，故选 D．
变式一同题设，求直线 的斜率．
变式二同题设结构，若 仍成公差为 的等差数列，且直线 的斜率为 ，求 ．
316

直线方程的五种形式

(1)点斜式： ，几何条件：过一点、斜率，局限性：不含垂直于x轴的直线
(2)斜截式： ，几何条件：纵截距、斜率，局限性：不含垂直于x轴的直线
(3)两点式： ，几何条件：过两点，局限性：不包括垂直于坐标轴的直线
(4)截距式 ，几何条件：纵、横截距，局限性：不包括垂直于坐标轴和过原点的直线
(5)一般式： ( ) （可以表示所有类型的直线）
317

斜截式下两直线平行、垂直的充要条件

设两直线方程 ，则
(1)两条直线平行： 且
(2)两条直线垂直：
【补充】当直线 ， 斜率都不存在且不重合时， ；当其中一条直线斜率不存在另一条直线斜率为 0 时， .
318

一般式下两直线平行、垂直的充要条件

设两直线方程
(1)
(2) 且 .
319

判定三点 在一条直线上的常用方法

(1)向量法： （ 为非零常数）
(2)代数法： （直线AB,BC斜率均存在时）
(3)平面解析几何法：写出经过任意两点的直线方程，再说明第三个点的坐标满足该直线方程
320

直线系方程

(1)平行直线系方程
①与直线 平行的所有直线可以表示为
②与直线 平行的所有直线可以表示为
(2)垂直直线系方程
①与直线 垂直的所有直线可以表示为 或
②与直线 垂直的所有直线可以表示为 ;
(3)过定点的直线系方程
过定点 的所有直线可以表示为 或 （斜率存在时）
(4)过两直线交点的直线系方程
过直线 : 与 : 的交点的所有直线可以表示为 ，但不包括 .
321

解决直线恒过定点问题常用的三种方法

(1)特殊法：给方程中的参数取两个特殊值，可得关于 的两个方程，从中解出的 值即为所求定点的坐标；
(2)点斜式法：将含参数的直线方程写成点斜式 ，则直线必过定点 ；
(3)分离参数法：将含参数的直线方程整理为过交点的直线系方程 的形式，则该方程表示的直线必过直线 和 的交点，而此交点就是定点.
【提醒】方法一计算较繁琐，方法二变形较困难，方法三最简便因而也最常用.
322

三种距离公式

(1)平面上任意两点 ， 间的距离公式为
(2)平面上任意一点 到直线 的距离 .
(3)两条平行直线 : , : 间的距离 .
【注意】求平行线间距离时要将两方程中 x, y 的系数化为相同的形式.
323

关于中心对称问题的处理方法

(1)若点 及 关于 对称，则由中点坐标公式得
(2)求直线 l 关于点 的对称直线 的问题
方法一：依据 上的任一点 关于 的对称点 必在 上.
方法二：求出直线上的两个特殊点 ， 关于点 的对称点 ， 的坐标，则直线 的方程即为所求的直线方程.
324

关于轴对称问题的处理方法:

(1)点关于直线的对称
若两点 与 关于直线 对称，则由方程组 可得到点 关于 对称的点 的坐标 (其中 ).
(2)直线关于直线对称问题，包含两种情形：
①两直线平行，可设平行线系通过平行线间距离相等列式解决，
②两直线相交：可设过交点的直线系方程，再在对称轴上取特殊点到两对称直线距离相等列式解决。（也可求出交点，在已知直线上另取一点求出关于对称直线的对称点，用两点式得所求方程）。
325

熟记几种常见对称

(1)点 关于原点 的对称点为 ，关于点 的对称点为 .
(2)点 关于x轴的对称点为 ，关于y轴的对称点为 .
(3)点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 .
(4)点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 .
(5)点 关于直线 的对称点为 ，关于直线 的对称点为 .
326

点与直线中的最值问题

(1) 两点在直线 的同侧，在直线 上找一点 ，使 最小
解决办法：作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，线段 与直线 的交点即为点 的位置，此时 取得最小值 .
(2) 两点在直线 的异侧，在直线 上找一点 ，使 最大
解决办法：作点 A 关于直线 I 的对称点 ，连接 ，线段 与直线 I 的交点即为点 Q 的位置，此时 取得最大值 。
327

圆的定义及普通方程

(1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是圆的半径.
(2)标准方程： 圆心 ，半径为
(3)一般方程： （ ）；圆心坐标 ，半径 。
【提醒】一般方程特点：① 项的系数相等且不为0；②没有xy项；③ 。
高考真题2022·全国甲卷（理）·第14题填空
设点 在直线 上，点 和 均在圆 上，则 的方程为___．
答案 ．
解析 圆心在两已知点所在弦的垂直平分线 上，与 联立得圆心 ，半径 ，故 ．
变式一求圆 被直线 截得的弦长．
变式二求与圆 关于点 对称的圆的方程．
328

求圆普通方程的两种方法

(1)定义法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量（圆心和半径），确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量。一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式。不论是哪种形式，都要确定三
个独立参数，所以应该有三个独立等式.
高考真题2022·全国乙卷（理）·第14题填空
过四点 中的三点的一个圆的方程为___．
答案 （即 ；答案不唯一，如 等）
解析 方法一：设圆的一般方程 ，任取三点代入解方程组；方法二：利用圆的几何性质，取两条弦的中垂线的交点为圆心，如过 时圆心为 ，．
变式一判断点 与圆 的位置关系．
变式二求圆 在点 处的切线方程．
329

圆的参数方程

学霸 ★
(1)圆心为 ，半径为 的圆的参数方程为： ( 为参数且 )；
(2)圆心为 ，半径为 的圆的参数方程为： ( 为参数且 ).
【提醒】圆的参数方程可帮助设圆上任一点的坐标.
330

求轨迹方程的常用方法

(1)直接法：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，只需把这种关系“翻译”成含 的等式就得到曲线的轨迹方程；
(2)定义法：若动点的轨迹条件满足某种已知曲线的定义，则可直接写出或用待定系数法求出该曲线轨迹方程；
(3)相关点法（代入法）：适用于动点 随另一动点 的运动而有规律地运动，而且动点 的轨迹方程为给定或容易求得；
(4)参数法: 选择适当参数将动点的横坐标 和纵坐标 都用参数表示, 然后消去参数, 再检验普通方程是否等价.
(5)交轨法：如果动点是两条曲线的交点，则其坐标同时满足两条曲线方程，那么消去辅助量即可求得动点的轨迹，这种方法称为交轨法.
【提醒】如果不是完整的曲线，则不管采用哪种方法都应对其中的变量 或 进行限制.
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第22题(1)解答
在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距离，记动点 的轨迹为 ．求 的方程．
答案 的方程为 ．
解析 设 ，则 ，两边平方化简得 ；也可用抛物线定义： 在以 为焦点、 轴为准线的抛物线上，，得 ，即 ．
变式一动点 到直线 的距离等于它到点 的距离，求 的轨迹方程．
变式二动点 到点 的距离与它到 轴的距离相等，求 的轨迹方程．
331

直接法求轨迹方程的步骤

(1)建系：建立适当的坐标系；
(2)设点: 设轨迹上的任一点 ;
(3)列式：列出动点 所满足的关系式 ；
(4)化简：化 为最简形式；
(5)结论：说明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.
【提醒】最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”；如果给出了直角坐标系也可省去建系这一步.
332

相关点法（代入法）求轨迹方程的步骤

(1)设点: 设动点坐标为 , 已知轨迹的点的坐标为 ,
(2)求关系式：求出两点坐标之间的关系式
(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.
333

参数法求轨迹方程的步骤

(1)选取恰当的参数 k，用 k 表示动点 的坐标.
(2)得出动点 的参数方程
(3)消去参数 k，得 M 的轨迹方程.
(4)由 k 的范围确定 x, y 的范围.
334

点与圆的位置关系

已知点 和圆
(1)利用点 到圆心 的距离与半径作比较：
①若 ，则点M在圆内；
②若 ，则点M在圆上；
③若 ，则点M在圆外.
(2)利用圆的标准方程判断：
①若 ，则点M在圆内；
②若 ，则点M在圆上；
③若 ，则点M在圆外.
【提醒】一般方程形式时不等号（或等号）也类同.
(3)转化为向量数量积的问题
①点 B 在以 AC 为直径的圆上
②点 在以 为直径的圆内
③点 在以 为直径的圆外
【提醒】这个结论只有在点 B、A、C 不共线的情况下才成立.
335

直线与圆的位置关系

设直线 l: ，圆： ，d 为圆心 到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为 .
(1)直线与圆相交 （几何法） （代数法）
(2)直线与圆相切 （几何法） （代数法）
(3)直线与圆相离 （几何法） （代数法）
【提醒】直线与圆的位置关系的判断多用几何法.
高考真题2023·新高考Ⅱ卷·第15题填空
已知直线 与 交于 两点，写出满足“ 的面积为 ”的 的一个值___．
答案 （或 ，， 中任意一个）
解析 半径 ，由 得 ，进而求得圆心 到直线的距离 或 ；又 ，解得 或 ，任写一个即可．
变式一同题设，若 ，求 的值．
变式二同题设，若直线 与 相切，求 的值．
336

与圆的几何性质有关的最值

(1)记 O 为圆心，圆外一点 A 到圆上距离最小为 ，最大为 ;
(2)过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为以该点为中点的弦；
(3)记圆心到直线的距离为 ，直线与圆相离，则圆上点到直线的最大距离为 ，最小距离为 ;
(4)过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆.
337

圆上的点到直线 的距离为定值的点的个数问题

记圆上的点到直线 的距离定值为 ，圆心到直线 的距离为 ，则
(1)当圆上没有点到直线 的距离等于 时， .
(2)当圆上有且只有1个点到直线 的距离等于 时， .
(3)当圆上有且只有2个点到直线 的距离等于 时， 或
(4)当圆上有且只有3个点到直线 的距离等于 时， .
(5)当圆上有且只有4个点到直线 的距离等于 时， .
338

与圆上点 有关的最值问题

(1)形如 型的最值问题，可转化为过点 和点 的直线的斜率的最值问题；
(2)形如 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题；
(3)形如 型的最值问题，可转化为动点到定点 的距离平方的最值问题；
(4)形如 形式的与圆有关的折线段问题(其中P，Q均为动点)，要立足两点：①减少动点的个数；②“曲化直”，即折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
339

求圆的切线方程

(1)过圆上一点 的圆的切线方程的求法
先求切点与圆心连线的斜率 ，再由垂直关系得切线的斜率为 ，由点斜式可得切线方程。如果斜率为0或不存在，则由图形可直接得切线方程 或 。
(2)过圆外一点 的切线方程的求法
设切线方程为 ，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得 ，也就是切线方程。当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为 ，因为过圆外一点的切线有两条。
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第6题单选
过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
A．
B．
C．
D．
答案 B
解析 圆心 ，半径 ，，切线长为 ；由切线性质得 ，故 ，选 B．
变式一同题设，求从点 向圆所作切线的长．
变式二同题设，求其中一条切线的斜率．
340

与圆的切线有关的速算结论

(1)过圆 上一点 处的切线方程是: ;
(2)过圆 上一点 处的切线方程是：
(3)圆 上一点 处的切线方程是：
(4)过圆外一点作圆的两条切线, 则两切点所在直线方程结论形式同上 (详见极点极线知识); (5)由圆外点 向圆 引切线, 记 两点的距离为 , 则切线长 ;
(6)过圆 （或 ）外一点 引圆的切线，切点为 ，切线长 （或 ）.
341

求圆的弦长

(1)几何法: 直线被圆截得的弦长一半 ，弦心距 d 和圆的半径 r 构成直角三角形，即 ，得弦长 。
(2)代数法：设直线 与圆 交于两点
当直线 的斜率为 时，则有
当直线 l 的倾斜角为 ，即斜率不存在时，
高考真题2024·全国甲卷（理）·第12题单选
已知 是 的等差中项，直线 与圆 交于 两点，则 的最小值为
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 由 得 ，直线恒过定点 ；圆 化为 ，圆心 ，半径 ，．当 时弦最短，，故选 C．
变式一同题设，求 的最大值．
变式二判断直线 （其中 ）与圆 的位置关系，并说明理由．
342

圆与圆的位置关系

设圆 ： ，圆 ：
(1)几何法：圆心距 与 的关系
外离
外切
相交 ;
内切 ;
内含
(2)代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况
外离、内含 无解；
外切、内切 一组实数解；
相交 两组不同的实数解；
【提醒】判断两圆位置关系时常用几何法，利用两圆组成的方程组解的个数，不能判断内切与外切，外离与内含.
高考真题2022·新高考Ⅰ卷·第14题填空
写出与圆 和 都相切的一条直线的方程___．
答案 （或 或 ，答案不唯一）
解析 两圆圆心距为 ，等于半径之和 ，故两圆外切，公切线恰有三条：，以及过切点的公切线 与 ，任写一条即可；一般用圆心到直线的距离分别等于两圆半径来检验．
变式一判断圆 与圆 的位置关系．
变式二求上述两圆的公共点坐标．
343

常见的圆系方程

(1)以 为圆心的同心圆系方程：
与圆 同心的圆系方程为：
(2)过直线 与圆 交点的圆系方程为：
(3)过两圆 交点的圆系方程为： ，此圆系不含 ）
特别地，当 时，上述方程为根轴方程。两圆相交时，表示公共弦方程；两圆相切时，表示公切线方程。
344

两圆的公共弦相关问题

(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法
当两圆相交时，将两圆的方程相减，即可得两圆的公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆的方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数.
(2)求两圆的公共弦长的方法
①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法: 求出公共弦所在直线的方程, 利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
03

第三章 圆锥曲线的方程

49 条 · 原书 P83
345

椭圆的定义

平面内与两定点 、 的距离的和等于常数(大于 )的点的轨迹叫做椭圆.
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
(1)几何表示：集合 ， ，其中
①若 a>c，则集合 P 为椭圆；
②若 a=c，则集合 P 为线段 ;
③若 a<c，则集合 P 为空集，即点的轨迹不存在.
(2)物理意义：从一个焦点发出的光线经过反射都集中到另一个焦点上.
高考真题2023·全国甲卷（文）·第7题单选
设 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，若 ，则
A．
B．
C．
D．
答案 B
解析 由 知 ；由椭圆定义 ，由勾股定理 ；两式平方相减得 ，故 ，选 B．
变式一同题设，求 的面积．
变式二同题设椭圆，若 ，求 ．
346

椭圆定义的双向运用

(1)判断（正用）：符合定义中到两定点的距离之和为常数（大于两定点间的距离）这一条件的点的轨迹为椭圆.
(2)求值（逆用）：椭圆上的点一定满足定义中的条件，即到两定点的距离之和为
347

椭圆的标准方程

(1)中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆的标准方程为：
(2)中心在坐标原点，焦点在 轴上的椭圆的标准方程为：
高考真题2025·新高考Ⅰ卷·第18题(1)解答
设椭圆 的离心率为 ，椭圆下顶点为 ，右顶点为 ，．求椭圆的标准方程．
答案 ．
解析 ，，故 ；又 ，即 ，得 ，联立解得 ，，故 ．
变式一已知椭圆的中心在原点、焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 ，求其标准方程．
变式二已知椭圆的长轴长是短轴长的 倍，且一个焦点坐标为 ，求其标准方程．
348

求椭圆标准方程的方法

(1)定义法：根据椭圆定义，确定 、 的值，结合焦点位置写出椭圆方程.
(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可.
【提醒】当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为 且 可以避免讨论和繁琐的计算.
349

椭圆的参数方程

学霸 ★
(1)椭圆 的参数方程为 为参数且
(2)椭圆 的参数方程为 为参数且
【提醒】椭圆的参数方程可帮助设椭圆上任一点的坐标，注意参数 的几何意义是椭圆上任一点的离心角，并不是这一点的旋转角.
350

椭圆的几何性质

标准方程
图形xyA1A2B2B1F1F2ObcaxyA2A1B2B1F2F1Ocba
性质范围-a≤x≤a; -b≤y≤b-b≤x≤b; -a≤y≤a
对称性对称轴: x轴、y轴; 对称中心:(0,0)
顶点A1(-a, 0), A2(a, 0) A1(0, -a), A2(0, a)
轴长长轴 ;短轴
焦点
焦距
离心率
的关系
【提醒】①椭圆的焦点一定在它的长轴上. ②椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点, 到中心的距离最大的点是长轴的两个端点. ③椭圆上到焦点的距离最大和最小的点是长轴的两个端点, 最大值为 , 最小值为 .
351

椭圆的焦点三角形

椭圆上异于长轴端点的点 与两焦点构成的 叫作焦点三角形. 记 , 的面积为 , 则在椭圆 中:
(1)
(2)焦点三角形的周长为 .
(3)
(4) .
(5) ，其中 为内切圆半径；当 时，即点 为短轴端点时， 取最大值，最大值为 ：
(6) ；当点 的位置为短轴端点时， 最大，此时 取得最大值 .
(7) 为椭圆 的左、右顶点， 是椭圆上的动点，则 最大当且仅当 为上下顶点.
高考真题2023·全国甲卷（理）·第12题单选
设 为坐标原点， 为椭圆 的两个焦点，点 在 上，，则
A．
B．
C．
D．
答案 B
解析 ，，；设 ，，则 ，由余弦定理 ，即 ，得 ，故 ；又 为 的中点，由中线定理 ，得 ，故 ，选 B．
变式一同题设，求 的面积．
变式二同题设椭圆，当 为短轴端点时，求 ．
352

椭圆离心率及其意义

椭圆离心率 .
(1)当 e 越接近于 1 时，c 越接近于 a，从而 越小，因此椭圆越扁；
(2)当 越接近于0时， 越接近于0，从而 越接近于 ，因此椭圆越接近于圆.
353

求椭圆离心率及范围的两种方法

(1)直接法：若已知 、 可直接利用 求解；若已知 、 或 、 可借助于 求出 或 ，再代入公式 求解.
(2)方程法: 若 的值不可求, 则可根据条件建立 的关系式, 借助于 转化为关于 的齐次方程或不等式, 再将方程或不等式两边同除以 的最高次幂, 得到关于 的方程或不等式, 即可求得 的值或范围.
高考真题2024·新高考Ⅰ卷·第16题解答
已知 和 为椭圆 上两点．(1) 求 的离心率；(2) 若过 的直线 交 于另一点 ，且 的面积为 ，求 的方程．
答案 (1) ；(2) 或 ．
解析 (1) 由 得 ；代入 得 ，，，；(2) 设 ，联立椭圆方程并用韦达定理表示弦长 ，结合点 到 的距离表示 的面积，化简得 ，解得 或 ，即 或 ．
变式一同题设，求 （ 为原点）的面积．
变式二同题设，求线段 的垂直平分线方程．
354

椭圆系方程的设法

(1)与椭圆 有相同离心率的椭圆方程可设为 （ ，焦点在 轴上）或 （ ，焦点在 轴上）.
(2)与椭圆 有相同焦点的椭圆方程可设为
355

点 和椭圆的位置关系

(1)点 在椭圆内 ;
(2)点 在椭圆上 ;
(3)点 在椭圆外 .
356

直线与椭圆位置关系的判断方法

直线：y=kx+m椭圆：x2a2+y2b2=1联立y=kx+m,x2a2+y2b2=1转化Ax2+Bx+C=0(A6=0)判断¢>0)两个公共点)相交¢=0)一个公共点)相切¢<0)无公共点)相离
高考真题2023·新高考Ⅱ卷·第5题单选
已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 与 交于 两点，若 的面积是 的面积的 倍，则
A．
B．
C．
D．
答案 C
解析 ，，； 与 同底 ，面积比等于两焦点到直线的距离之比，故 ；由图形知 ，去绝对值解得 ，选 C．
变式一同题设椭圆与直线，若 与 的面积相等，求 的值．
变式二同题设椭圆，判断直线 与 的位置关系．
357

关于直线被椭圆截得的弦长的解题思路

(1)求两交点坐标，转化为两点间距离.
(2)用公式来求：设直线斜率为k，直线与椭圆两交点为 ，则 .
【提醒】在解决直线与椭圆相交问题时，一般要消元化为一元二次方程，常用根与系数的关系，此时易忽视对所化一元二次方程判断判别式大于0.
358

解决椭圆“中点弦”问题的方法

(1)（根与系数的关系法）：联立直线和椭圆的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
(2)（点差法）：设直线与椭圆的交点（弦的端点）为 ， ，将这两点坐标代入椭圆的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量.
【提醒】在使用根与系数的关系时，要注意使用条件 ；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.
高考真题2022·新高考Ⅱ卷·第16题填空
已知直线 与椭圆 在第一象限交于 两点， 与 轴、 轴分别相交于 两点，且 ，，则 的方程为___．
答案 ．
解析 由 知线段 的中点与线段 的中点重合；设 ，联立椭圆方程得 ，故 中点的横坐标为 ，而 中点的横坐标为 ，由中点重合解得 ；又 得 ，取 ，故 ．
变式一求直线 被椭圆 截得的弦长 ．
变式二求原点 到直线 的距离．
359

椭圆 上任意一点设法

(1)设 是椭圆上任意一点，则隐含 或 关系进行代换； (2)借助椭圆的参数方程设椭圆上任意一点为 ，其中 .
360

椭圆的焦半径

学霸 ★
椭圆上的点 与左(下)焦点 与右(上)焦点 之间的线段的长度叫作椭圆的焦半径.
(1) 时， ， 。（记忆：左加右减）
(2) 时， ，
(3)焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小（ ）.
(4)焦点弦（过焦点的弦）：
①过椭圆 左焦点的焦点弦
过右焦点的弦 ;
②过椭圆 下焦点的焦点弦
过上焦点的弦 ;
(5)焦点弦中以通径最短（过椭圆焦点且垂直于长轴的弦长称为通径，通径为 ）
(6) （注： 是焦点到相应准线的距离）.
361

椭圆中的极点极线问题

学霸 ★
(1)设点 在圆锥曲线外，过 作圆锥曲线的两条切线，设切点为 ，则 为切点弦.
①椭圆 的切点弦（极线）方程
②椭圆 的切点弦（极线）方程
(2)①椭圆 上一点 的切线方程是
②椭圆 上一点 的切线方程是
362

双曲线的定义

平面内动点与两个定点 , 的距离的差的绝对值等于非零常数(小于 ) 的点的轨迹叫双曲线. 这两个定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
(1)几何表示：集合 ， ，其中 ，
①若 a<c 时，则集合 P 为双曲线；
②若 a=c 时，则集合 P 为两条射线；
③若 a>c 时，则集合 P 为空集.
(2)物理意义：从一个焦点发出的光线，经反射成扩散现象，其反向延长线过另一个焦点.【提醒】双曲线中很多结论与椭圆中类似，作适当变形即可.
363

双曲线的定义的应用

(1)已知双曲线上一点的坐标，可以求得该点到某一焦点的距离，进而根据定义求该点到另一焦点的距离.
(2)在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时, 首先要注意定义中的条件 的应用; 其次要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算, 在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用.
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第16题填空
已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在 上，点 在 轴上，，，则 的离心率为___．
答案
解析 由 ，设 ，；由双曲线定义 ，且 ；在 中，，得 ，于是 ，，，；在 中用余弦定理得 ，故 ．
变式一设 是双曲线 的左、右焦点， 在 的右支上，若 ，求 ．
变式二双曲线 上一点 满足 ，，，求其离心率．
364

双曲线的标准方程

(1)中心在坐标原点，焦点在 轴上的双曲线的标准方程为
(2)中心在坐标原点，焦点在 轴上的双曲线的标准方程为
【提醒】求双曲线的标准方程与椭圆中类似，当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为 （ ），这样可避免讨论和复杂的计算。
高考真题2023·新高考Ⅱ卷·第21题(1)解答
已知双曲线 的中心为坐标原点，左焦点为 ，离心率为 ．求双曲线 的方程．
答案 ．
解析 由左焦点为 知焦点在 轴上且 ；由 得 ，，故 ．
变式一已知双曲线的中心在原点，渐近线方程为 ，且经过点 ，求其标准方程．
变式二已知双曲线的离心率为 ，渐近线方程为 ，焦距为 ，求其标准方程．
365

方程表示双曲线的条件

(1)对于方程 ，当mn<0时表示双曲线，进一步，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线.
(2)对于方程 ，当 时表示双曲线，且当 ， 时表示焦点在 轴上的双曲线；当 ， 时表示焦点在 轴上的双曲线.
366

双曲线的几何性质

标准方程
图形[68×4]xyOA2A1B1B2F1F2
性质范围x≥a或x≤-a,y∈Rx∈R,y≤-a或y≥a
对称性对称轴:x轴、y轴,对称中心:(0,0)
焦点F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)
焦距|F1F2|=2c
顶点A1(-a,0),A2(a,0)A1(0,-a),A2(0,a)
轴实轴|A1A2|=2a;虚轴|B1B2|=2b
渐近线y=±b/ay=±a/b x
离心率e=c/a=√(1+(b/a)2)∈(1,+∞)
a、b、c的关系c2=a2+b2
(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫
高考真题2023·全国甲卷（理）·第8题单选
已知双曲线 的离心率为 ，其中一条渐近线与圆 交于 两点，则
A．
B．
C．
D．
答案 D
解析 由 得 ，渐近线为 ；圆心 到 的距离 （另一条渐近线与圆相离），故 ，选 D．
变式一同题设双曲线，求其渐近线方程．
变式二求直线 被圆 截得的弦的中点坐标．
367

等轴双曲线

(1)等轴双曲线.
(2)等轴双曲线的方程： .
(3)等轴双曲线的渐近线： （互相垂直）.
(4)等轴双曲线的离心率 .
368

双曲线的几个常用结论

(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ，顶点到渐近线的距离为 .
(2)若 是双曲线右支上一点， 分别为双曲线的左、右焦点，则
(3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为 ，异支的弦中最短的为实轴，其长为 .
(4) 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点, 分别为双曲线的左、右焦点, 则 , 其中 为 .
(5) 是双曲线 右支上不同于实轴顶点的任意一点， 分别为双曲线的左、右焦点分别为双曲线的左右交点，I 为三角形 内切圆的圆心，则圆心 I 的横坐标为恒为 。
369

双曲线离心率及其意义

双曲线离心率
(1) 的值越大，渐近线 的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率e越大，双曲线的开口越开阔.
(2)同上，双曲线的离心率 越小，双曲线的开口越狭窄.
高考真题2022·全国甲卷（文）·第15题填空
记双曲线 的离心率为 ，写出满足条件“直线 与 无公共点”的 的一个值___．
答案 （满足 的任意值均可）
解析 直线 过原点，当其斜率不小于渐近线斜率时与双曲线无公共点，即 ，故 ；又 ，所以 ，任取其中一个值（如 ）即可，本题是开放性填空题．
变式一若双曲线 的离心率为 ，判断直线 与 的公共点个数．
变式二写出满足条件“直线 与 无公共点”的 的一个值．
370

求双曲线离心率的两种方法

(1)直接法：若已知 ，可直接利用 求解；若已知 ，可利用 求解.
(2)方程（不等式）法：若无法求出 的具体值，但根据条件可确定 之间的关系，可通过 ，将关系式转化为关于 ， 的齐次方程（不等式），借助于 ，转化为关于 的 次方程（不等式）求解.
高考真题2024·新高考Ⅰ卷·第12题填空
设双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作平行于 轴的直线交 于 两点，若 ，，则 的离心率为___．
答案
解析 通径 ，得 ；由焦半径公式 ；联立 得 ，，，故 ．
变式一同题设，若 且 ，求 的值．
变式二已知双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 ，且 ，求 的值．
371

双曲线系方程的设法

(1)与双曲线 有相同焦点的双曲线可设为 且 ；
(2)与双曲线 有相同离心率的双曲线可设为 （焦点在 轴上时）和 （焦点在 轴上时）；
(3)与双曲线 有相同渐近线的双曲线可设为 （ ，有两条）；
(4)若渐近线方程为 ，则双曲线可设为 .
372

抛物线的定义

平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。点 叫做抛
物线的焦点，直线 / 叫做抛物线的准线.
几何表示： 为点 M 到准线 l 的距离).
【提醒】抛物线上找一个点使它到定点距离与到焦点的距离之和取得最值，解法是利用抛物线定义转化为抛物线上的动点到定点和准线距离之和的最值.
高考真题2024·新高考Ⅱ卷·第10题多选
抛物线 的准线为 ， 为 上的动点，过 作 的一条切线， 为切点，过 作 的垂线，垂足为 ，则
A． 与 相切
B．当 三点共线时，
C．当 时，
D．满足 的点 有且仅有 个
答案 ABD
解析 准线为 ，圆心 到准线的距离为 ，等于半径，A 正确； 共线时 ，，切线长 ，B 正确；由抛物线定义 ， 即 ，这样的 位于线段 的垂直平分线上，与抛物线恰有 个交点，D 正确；C 经检验不成立．故选 ABD．
变式一求抛物线 的焦点坐标与准线方程．
变式二求过点 的抛物线 的切线方程．
373

抛物线的标准方程

(1)顶点在坐标原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为： ;
(2)顶点在坐标原点，焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为： ;
(3)顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为： ;
(4)顶点在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为： .
【提醒】抛物线 上的点常设为 ，便于简化计算.
高考真题2023·全国乙卷（理）·第13题填空
已知点 在抛物线 上，则 到 的准线的距离为___．
答案
解析 由 得 ，准线方程为 ，故 到准线的距离为 （即 ，也就是焦半径 ）．
变式一同题设，求抛物线 的焦点坐标．
变式二同题设，点 在 上，若 到焦点的距离为 ，求 的横坐标．
374

抛物线标准方程的求法

(1)定义法：建立适当的直角坐标系，利用抛物线的定义得到动点满足的条件，列出方程，进行化简，根据定义求出 ，最后写出标准方程.
(2)待定系数法: 由于标准方程有四种形式, 因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上, 进而确定方程的形式, 然后再利用已知条件确定 的值. 必要时要进行分类讨论, 当类型不定时可设为 或 减少讨论情况.
高考真题2023·全国甲卷（理）·第13题填空
设抛物线 的焦点为 ，点 ，过 的直线交 于 两点，当直线 垂直于 轴时，，则 ___．
答案
解析 轴时 ，代入抛物线得 ；由焦半径公式 ，解得 ．
变式一同题设（），当直线 垂直于 轴时，求 ．
变式二同题设（），若直线 的斜率为 ，求 ．
375

抛物线的几何性质

标准方程
p的几何意义:焦点F到准线l的距离
图形xyOlFxyOlFxyOlFxyOlF
开口方向向右向左向上向下
范围
顶点O(0,0)
对称轴y=0x=0
焦点
准线方程
焦半径
离心率e=1
物理意义从焦点发出的光线,经反射,成平行光线.
高考真题2025·新高考Ⅰ卷·第10题多选
设抛物线 的焦点为 ，过 的直线交 于 、，过 且垂直于 的直线交准线 于 ，过点 作准线 的垂线，垂足为 ，则
A．
B．
C．
D．
答案 ACD
解析 由抛物线定义知 ，A 正确；由通径最短得 ，C 正确；当 轴时 ，，；一般地 ，又 ，故 ，D 正确；B 在 轴时不成立．故选 ACD．
变式一求抛物线 的焦点坐标与准线方程．
变式二同题设，若直线 的斜率为 ，求 ．
376

求抛物线在点 处切线方程（切线斜率存在）的方法

③得到切线方程 .
(2)判别式法，步骤如下：
①设切线方程；
②联立方程组得一元二次方程；
③令 求出切线斜率，即可求出切线的方程.
377

抛物线 中与焦点弦有关的常用结论

设 是过抛物线 焦点 的弦，若 为弦 的倾斜角，则
(1)
(2) (x轴上方时)
（ 轴下方时）
xyOABCDEF
(3)弦长 .
(4)
(5)以弦 AB 为直径的圆与准线相切；以 AF 或 BF 为直径的圆与 y 轴相切；以 CD 为直径的圆与直线 AB 相切，切点为 F.
(6)过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点在准线上；过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点.
(7) 三点共线， 三点共线， 。
(8)通径: 过焦点垂直于对称轴的弦, 长等于 , 通径是过焦点最短的弦.
(9)过抛物线焦点弦两端的切线的交点在抛物线的准线上；过抛物线焦点弦两端的切线互相垂直.
【提醒】以上结论适用范围是过焦点的直线，且抛物线开口向右，其它开口的抛物线可类比，但结论不能盲目生搬硬套.
高考真题2022·新高考Ⅱ卷·第10题多选
已知 为坐标原点，过抛物线 焦点 的直线与 交于 两点，其中 在第一象限，点 ，若 ，则
A．直线 的斜率为
B．
C．
D．
答案 ACD
解析 由 知 在线段 的垂直平分线上，得 ，，故 ，A 正确；联立解得 ，，B 错误；，C 正确；计算可知 与 均为锐角，其和小于 ，D 正确．故选 ACD．
变式一同题设，若直线 的斜率为 ，求 的值．
变式二同题设，若 ，求直线 的斜率．
378

抛物线各种标准形式下焦点弦、切点弦结论

学霸 ★
标准方程
图形xyOlFxyOlFxyOlFxyOlF
焦点弦
曲线上一点 的切线(极线)
379

直线与圆锥曲线的位置关系的判断

将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于 (或 ) 的一元方程： (或 ).
(1)当 时，计算判别式 的值，若
① 直线与圆锥曲线相交；
② 直线与圆锥曲线相切；
③ 直线与圆锥曲线相离.
(2)当 ， 时，即得到一个一元一次方程，则直线 与圆锥曲线 相交，且只有一个交点，
①若 E 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；
②若 E 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合.
380

直线与圆锥曲线相交弦长

设斜率为 的直线 与圆锥曲线 相交于 、 两点 、 ，则：
(1)
其中 或 可使用联解所得一元二次方程中的 速算.
【特别地】①椭圆的通径：过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦，其长 .
②双曲线的通径：过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦，其长 .
③抛物线的焦点弦：过抛物线的焦点的弦，其长
④抛物线的通径：过抛物线焦点且垂直于对称轴的弦，其长
381

根与系数的关系法处理直线与圆锥曲线综合问题的步骤（体现设而不求思想）

(1)联立直线与圆锥曲线的方程;
(2)消元得到关于 x 或 y 的一元二次方程（若二次项系数含参注意讨论，勿忘 限定有关参数范围）；
(3)设直线与圆锥曲线的交点为 ， ;
(4)利用根与系数的关系设而不求;
(5)把题干中的条件转化为 、 或 ， ，进而求解.
【提醒】直线方程的两种常见设法：①斜截式 （不含斜率不存在情况）；
②横截式 （不含斜率为零情况）.
曲线
高考真题2024·新高考Ⅱ卷·第19题(1)(2)解答
已知双曲线 ，点 在 上， 为常数（）．按照如下方式依次构造点 ：过 作斜率为 的直线与 的左支交于点 ，令 为 关于 轴的对称点，记 的坐标为 ．(1) 若 ，求 ；(2) 证明：数列 是公比为 的等比数列．
答案 (1) ，；(2) 证明见解析．
解析 由 得 ，；(1) 时直线 与 联立得 或 ，故 ，，即 ，；(2) 过 且斜率为 的直线与 联立，由韦达定理（设而不求）得另一交点的横坐标，进而可推出 ，且 ，故数列 是公比为 的等比数列．
变式一同题设，求 的值．
变式二同题设，当 时，求 ．
382

圆锥曲线硬解定理

学霸 ★
与直线 相交于两点，则 其中 (1)运用于椭圆时：焦点位于 轴时 ，应将 代入. 焦点位于 轴时 ，应将 代入.(2)运用于双曲线时：焦点位于 轴时 ，应将 代入，同时 不应为
0．焦点位于 轴时 ，应将 代入，同时 不应为
0. 【提醒】①本结论供学霸大脑记忆根与系数关系，联解式回写即可，可节省计算时间；②求解 与 时，只需将 互换、 互换、 不变.
(1) ，
383

圆锥曲线中三角形或四边形面积的常见求解方法

其中 为底边，利用弦长公式求解； 为高，利用点到直线的距离求解。 (2)当△ABC的顶点A在坐标轴上，边BC为圆锥曲线的弦，且BC所在的直线与点A所在的坐标轴交于点M，若 为定值，设 ，则 或 ，即用割补法将三角形的底和高均取在坐标轴或平行于坐标轴的直线上。 (3)三角形面积问题中，若题目涉及三角形的内角，可考虑利用公式 （C为边a,b的夹角）来求解三角形的面积.
(4)对角线互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半，其中对角线可用弦长公式求解. (5)在 中，已知 ， ，则 的坐标面积公式为 . (6)在四边形ABCD中，AC和BD是对角线且夹角为θ，且 ， ，则四边形的面积为 【提醒】在正规考试的大题中，二级结论不要直接使用，除非一并写出中间证明套路.
384

非对称韦达定理的类型与求解方法

学霸 ★
一个含有若干个元的多项式中，如果任意交换两个元的位置，多项式不变，则这样的多项式叫做对称多项式，简称对称式，除此之外均称为非对称式。圆锥曲线解答题中非对称式问题常见求解方法如下：
举例：如非对称式 ，可以通过配凑构造出含有两根之和与两根之积的对称式，即 ，两式相乘得 ，然后利用韦达定理整体代入求
解即可、
(2)利用圆锥曲线方程代入化非对称为对称
举例：如 是非对称式，可将其平方，借助圆锥曲线方程消去 ，进而化成 的对称式，再用韦达定理整体代入求解即可。
385

解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法

(1)点差法：利用交点在曲线上坐标满足方程，将交点坐标分别代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系。步骤如下：
①设点：设出弦两端坐标；
②代入：代入圆锥曲线方程；
③作差：两式相减，再用平方差公式把上式展开；
④整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解.
(2)根与系数的关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决。（本法在中点弦问题中不太推荐）
386

点差法的常用结论

(1)在椭圆 中，以 为中点的弦所在直线的斜率
(2)在双曲线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率
(3)在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率 ;
(4)在抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的斜率
高考真题2023·全国乙卷（理）·第11题单选
设 为双曲线 上两点，下列四个点中，可为线段 中点的是
A．
B．
C．
D．
答案 D
解析 设 ，中点 ，点差法得 ；C 中 恰为渐近线斜率，弦不存在；A、B 中相应直线与 联立的判别式小于 ；D 中 ，相应直线与 有两个交点且中点确为 ，选 D．
变式一椭圆 的以点 为中点的弦所在直线的斜率为多少？
变式二求椭圆 以点 为中点的弦长．
387

圆锥曲线的第二定义

学霸 ★
若平面内一个动点 M 到一个定点 F 和到一条定直线 l 的距离之比等于一个常数 e (e > 0)，则动点 M 的轨迹为圆锥曲线（其中点 F 不在直线 l 上）.
其中，定点 为焦点，定直线 为准线， 为离心率，动点 就是集合
(1)当 时，轨迹为椭圆，其准线方程为 （焦点在 轴上时）；
(2)当 时，轨迹为抛物线，其准线方程为 （焦点在 正半轴上时）；
(3)当 时，轨迹为双曲线，其准线方程为 （焦点在 轴上时）.
【提醒】①过椭圆准线上一点做椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点。②圆锥曲线的任意两焦点弦端点连线交点的轨迹是准线。
388

圆锥曲线的第三定义

学霸 ★
若动点 ，定点 ， ，则定义圆锥曲线为 ，其中直线的斜率分别为 ，则
(1) 时为双曲线（但不含实轴顶点 ）
(2) 时为圆（但不含直径端点 ） (3) 时为椭圆（但不含长轴或短轴的顶点 ） 【提醒】其实 （ 为对应圆锥曲线的离心率）
389.（供学霸用）
389

圆锥曲线的第四定义

学霸 ★
圆锥曲线的第四定义 用不过圆锥曲面顶点的平面截取圆锥曲面，得到的 交线定义为圆锥曲线. (1)当截面平行于圆锥曲面的轴时截得双曲线. (2)当截面平行圆锥曲面的母线时截得抛物线. (3)当截面垂直于圆锥曲面的轴时截得圆. (4)当截面其余位置时截得椭圆.
圆椭圆抛物线双曲线圆锥曲线
【提醒】这才是圆锥曲线命名的根源，但前提是平面不过圆锥曲面的顶点.
390

圆锥曲线中焦点弦比例公式

学霸 ★
(1)已知焦点在 轴上的圆锥曲线 ，经过其焦点 的直线交曲线于 两点，直线 的倾斜角为 ，斜率为 ，且 ，则曲线 的离心率 满足： ， 。（若交于双曲线两支，则 ）
(2)已知焦点在 轴上的圆锥曲线 ，经过其焦点 的直线交曲线于 两点，直线 的倾斜角为 ，斜率为 ，且 ，则曲线 的离心率 满足： ， .（若交于双曲线两支，则 ）
【提醒】椭圆、双曲线、抛物线均适用于以上结论.
391

有心二次曲线 C 中两直线斜率乘积为定值结论

学霸 ★
(1)若 AB 是有心二次曲线 C（椭圆、双曲线需焦点在 x 轴）的直径，P 是曲线 C 上任意一点，当直线 PA, PB 的斜率都存在时，那么 （也称为圆锥曲线的第三定义）；
(2)若 是有心二次曲线 （椭圆、双曲线需焦点在 轴）的弦， 是 的中点，当直线 的斜率都存在时，那么 ；
(3)若 是有心二次曲线 （椭圆、双曲线需焦点在 轴）的切线， 是切点，当直线 的斜率都存在时，那么 .
【提醒】①有心二次曲线是指具有对称中心的二次曲线，包括圆、椭圆、双曲线；②直径是指过对称中心的弦；③在圆中两直线斜率乘积为定值-1，在椭圆（焦点在x轴）中两直线斜率乘积为定值 ，在双曲线（焦点在x轴）中两直线斜率乘积为定值 ；④如果椭圆或双曲线的焦点在y轴上，则在椭圆中两直线斜率乘积为定值 ，在双曲线中两直线斜率乘积为定值 .
392

解析几何中的“三定”问题处理策略

学霸 ★
(1)定值问题
法一、从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.
法二、引进变量法：①引入参变量，根据题意建立参变量和已知量的关系；
②把待求几何定值用引入的参变量表示：
③利用代数恒等变形进行化简和消除参变量，得到定值.
(2)定点问题
法一、引进参数法：①根据运动变化的产生原因引入参变量；
②通过恒等变形分离参变量，得到形如 的方程
③令参变量的系数为0，得到方程组 ，解出定点坐标；
④将定点坐标代入原式检验，得出结论.
法二、“变元特殊化”法：通过特殊位置或特殊数值求解出定点，再证明该定点与变量无关.
(3)定线问题：定线问题是指动点在定曲线上，其实质是求动点的轨迹方程，常见的求解方法有坐标法、相关点法、参数法.
393

二次曲线的极点极线

学霸 ★
(1)已知 在二次曲线上，会求过点 的切线方程.
①圆 上一点 处的切线方程是：
② 圆 上一点 处的切线方程是： ；
③ 圆 上一点 处的切线方程是： ；
④椭圆 上一点 处的切线方程是：
⑤双曲线 上一点 处的切线方程是： ；
⑥抛物线 上一点 处的切线方程是： ;
⑦抛物线 上一点 处的切线方程是：
【替换规则】用 替换 ，用 替换 ，用 替换 ，用 替换 .
(2)拓展：以下两种情况和上述情况所得出的直线方程是完全一样的！
①已知 在二次曲线外，过点 作二次曲线的两条切线，切点分别是 ，求出切点弦 所在的直线方程.
②已知 在二次曲线内，过点 作一条直线交二次曲线于 两点，再以两点 为切点，作出两条切线 和 ， 为两条切线 和 的交点；类似地，过点 再作一条直线交二次曲线于 两点，再以两点 为切点，作出两条切线 和 ， 为两条切线 和 的交点；求出直线 的方程。
SELECTIVE · 选必第二册

选择性必修第二册

共 69 条知识点，2 章。

01

第四章 数列

25 条 · 原书 P96
394

数列的有关概念

(1)定义：按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.一般形式： ，简记为 ，其中第1项叫做首项.
(2)分类：①按项的个数分为有穷数列、无穷数列；
②按项的变化趋势分为递增数列、递减数列、常数列、摆动数列.
(3)数列的前 n 项和： 的前 n 项和
【提醒】数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数.
高考真题2024·新高考Ⅰ卷·第8题单选
已知函数 的定义域为 ，，且当 时，，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案 B（）
解析 数列是定义在正整数集上的离散型函数，本题把函数的递推关系转化为数列的递推关系。 令 （），则 ，，且 （）。由 ，用归纳法可得 严格递增，于是 。 放缩（类等比）：，即 ，故 B 正确。 逐项比较（类斐波那契）：，，，，，，，，，，，，，。可见 （C 错）、（B 对）。
变式一已知函数 的定义域为 ，，且当 时，，则下列结论中一定正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
变式二已知数列 满足 ，，（），证明：（）。
395

数列的通项公式和递推公式

(1)如果数列 的第 项 与它的序号 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
【提醒】 或 常常用来表示正负相间的变化规律.
(2)如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项 与它的前一项 (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.
高考真题2022·新高考Ⅰ卷·第17题解答
记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列． （1）求 的通项公式； （2）证明：．
答案 （1）； （2）
解析 （1）由 是首项为 、公差为 的等差数列，得 ，即 。 当 时，把 与 相减并利用 ，得 ，即 。累乘得 。 又 ，故 。 （2），于是 。
变式一已知数列 满足 ，，求 的通项公式。
变式二记 为数列 的前 项和，已知 ，（），求 的通项公式与前 项和 。
396

已知递推关系求数列通项公式的类型及方法

(1)形如 ，适用累加法；
(2)形如 ，适用累乘法；
(3)形如 ( ) 的递推式，适用作商法；（可自己引申理解作差法）
(4)形如 ，可设 解出 后构造 为等比数列求解；
(5)形如 ，可设 解出 后构造 为等比数列求解；（可自己引申解决形如 问题）
(6)形如 ，可设 解出 后构造 为等比数列求解；也可两边同除 或 转化为前面类型求解；
(7)形如 为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法转化为前面类型求解；
(8)形如 ，可以两边取对数得到 ，设 后求解；
(9)形如 的形式，可以两边同时平方转化为前面类型求解；
(10)形如 ，可设 解出 后构造 为等比数列后求解.
【提醒】若得到的是 时的通项公式，一定要验证 是否符合所求出的通项公式。若符合，数列 的通项公式就用一个式子表示；若不符合，数列 的通项公式就用分段的形
式表示.
高考真题2023·全国甲卷·第17题解答
记 为数列 的前 项和，已知 ，． （1）求 的通项公式； （2）求数列 的前 项和 ．
答案 （1）； （2）
解析 这是"已知 与 的关系求通项"的典型题，方法是：先由 定首项，再作差消去 ，最后化成等差、等比等标准形式。 （1）当 时，，得 。当 时，由 与 相减得 ，即 。 当 时 ，累乘得 ，即 。 因 ，故 （）；检验 时 也成立，故 。 （2）由（1）得 ，这是"等差×等比"型数列，用错位相减法： 记 ，则 ， 两式相减得 ，整理即得 。
变式一已知数列 满足 ，（），证明： 为等差数列，并求 的通项公式。
变式二已知数列 满足 ，，设 ，求 。
397

已知 求 的三个步骤

(1)令 利用 代入解出
(2)当 时用 替换 中的 得到一个新的关系，利用 求出 的表达式；(3)对 时的结果进行检验，看是否符合 时 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 与 两段来写.
【简记】
高考真题2024·全国甲卷·第18题解答
记 为数列 的前 项和，已知 ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ．
答案 （1）； （2）
解析 已知 求 的三个步骤：① 由 求出首项；② 作差消去 ，得到 与 的递推关系；③ 化成等差、等比等标准形式求通项。 当 时，，即 ，得 。当 时，，两式相减得 ，即 。因 ，故 是首项为 、公比为 的等比数列，。 （2），是"等差×等比"型，用错位相减法： 记 ，则 ， 两式相减得 ， 整理得 。
变式一记 为数列 的前 项和，已知 ．求 的通项公式。
变式二记 为数列 的前 项和，已知 （），求 的通项公式。
398

与 关系问题的处理策略

S_{n}a_{n}$ 关系问题的处理策略
根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化.
(1)利用 转化为只含 ， 的关系式，再求解；
(2)利用 转化为只含 ， 的关系式，再求解.
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第7题单选
记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案 C
解析 两个方向分别证明，这是"充要条件"问题的标准处理策略。 充分性：若 是等差数列，公差为 ，则 ，所以 ，它是关于 的一次函数， 必为等差数列。 必要性：若 是等差数列，设 ，则 ，于是 ， 可见 也是等差数列（公差为 ）。 故甲、乙互为充要条件，选 C。 规律：等差数列的"平均数" 仍成等差数列；等比数列则没有这一结论（ 时 一般不是等比数列）。
变式一记 为数列 的前 项和，设甲： 为等比数列；乙： 为等比数列，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
变式二记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，则（　　）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
399

根据数列的通项公式判断数列单调性的方法

(1)函数法：已知 ，由函数 的单调性确定 的单调性（需注意 影响）.
(2)作差比较法：若 则 为递增数列；
(3)作商比较法：已知 ，若 则 为递增数列；
400

求数列最大项和最小项的方法

(1)利用函数的单调性和最值，即参照数列对应的函数的性质的研究方法，由函数的单调性过渡到数列的增减性，然后判断最值；
(2)在数列 中，若 最大，则 若 最小，则
401

等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示.
(2)等差中项：数列 成等差数列的充要条件是 ，其中 叫做 的等差中项.
402

等差数列的有关公式

(1)通项公式：
(2)前 项和公式: . （可记忆化简式 速算）特别地, .
(3)公差： （ ）.
【提醒】等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量 和，这五个量可以“知三求二”。一般是利用公式列出基本量 和d的方程组，解出 和d便可解决问题。
高考真题2024·全国甲卷·第4题单选
记 为等差数列 的前 项和，已知 ，，则 （　　）
答案 （原题选 B）
解析 本题只用等差数列的两条基本性质。 性质一：等差数列中连续 项之和等于中间项的 倍，即 。 由 得 ，故 。 性质二：等差数列的通项 ，于是 ， 。 也可用求和公式验证：，，两式相等即 ，同样得到 。
变式一记 为等差数列 的前 项和，若 ，，则 （　　）
变式二记 为等差数列 的前 项和，已知 ，，求公差 与 。
403

等差数列的判定方法

(1)定义法： 是常数） 是等差数列.
(2)等差中项法： 是等差数列.
(3)通项公式法： 特征 为常数） 是等差数列.
(4)前 项和公式法： 特征 为常数) 是等差数列.
【提醒】在解答题中常应用定义法和等差中项法，而通项公式法和前 n 项和公式法只能适用于选择题、填空题中的简单判断.
高考真题2024·新课标Ⅰ卷·第19题解答
设 为正整数，数列 是公差不为 的等差数列，若从中删去两项 和 （）后剩余的 项可被平均分为 组，且每组的 个数都能构成等差数列，则称数列 是 —可分数列． （1）写出所有的 ，，使得数列 是 —可分数列； （2）当 时，证明：数列 是 —可分数列．
答案 （1），，； （2）证明见解析
解析 （1）判定的关键：四个数能否成等差数列，与"整体加上一个常数"或"整体乘以非零常数"无关，故不妨设公差 。 从 中删去两项后剩下 项，这 项必须成等差数列。在 中能成等差数列的 元子集只有 、、（公差为 时最多只能取到 项）。于是被删去的两项依次为 、、。 （2）当 时， 删去 与 后分成三组： ；；。 每组下标相差 ，对应项的差都是 ，故每组的 个数都成等差数列。 当 时，前 组仍按上面 的分法，其余的项从第 项起每连续 项分为一组： ；…；，共 组，每组相邻 项自然成等差数列。连同前面 组恰好 组、每组 个数共 个，故是可分数列。
变式一已知等差数列 中，，，求 的通项公式及其前 项和 。
变式二设 为正整数，数列 是公差不为 的等差数列。若从 中删去两项 （）后，剩下的 项能平均分为 组且每组的 个数都成等差数列，证明：可以删去 与 。
404

等差数列的常用结论

(1)若 ，则 ；特别地，若 ，则 推广：若 ，则
(2)若 是公差为 的等差数列，则 是公差为 的等差数列； 是公差为 的等差数列； 是公差为 的等差数列； 是公差为 的等差数列； 是公差为 的等差数列.
(3)若 分别是公差为 的等差数列，则 是公差为 的等差数列.
(4)等差数列的依次每 项之和数列 组成公差为 的等差数列.
(5)项数为2n的等差数列， ， ， ；
项数为 的等差数列， .
【提醒】在等差数列中此结论常以 形式使用.
(6)两个等差数列 , 的前 项和 , 之间的关系为 .
高考真题2024·新课标Ⅱ卷·第12题填空
记 为等差数列 的前 项和，若 ，，则 ______．
答案
解析 设首项为 ，公差为 。由 ，，解得 ，。 于是 。 常用结论回顾：① 当 时 ；② （首末两项之和），即 ；③ 是"数列的平均数"，在等差数列中仍成等差数列。
变式一记 为等差数列 的前 项和，若 ，，求 与公差 。
变式二已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，，求 。
405

等差数列设项技巧

(1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设中间三项为 ， ， ，公差为 ；
(2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设中间两项为 ， ，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元，公差为 ：
406

求等差数列前 项和 最值的常用方法

(1)函数法：利用等差数列前 项和的函数表达式 ，若 ，则从二次函数的角度看：当 时， 有最大值；当 时， 有最小值，且 取最接近对称轴的自然数时， 取到最值.
(2)邻项变号法:
①当 时，满足 的项数 使得 取得最大值为
②当 时，满足 的项数 使得 取得最小值为 .
(3)若 最大，则 ；若 最小，则 .
高考真题2022·全国甲卷·第18题（文）解答
记 为数列 的前 项和，已知 ． （1）证明： 是等差数列； （2）若 ，， 成等比数列，求 的最小值．
答案 （1） 是公差为 的等差数列； （2） 的最小值为 （当 或 时取得）
解析 （1）由 得 。当 时等式恒成立；当 时，把 与 的两个等式相减，得 ， 整理得 。因 ，故 ，即 是公差为 的等差数列。 （2）由（1）知 。由 成等比数列得 ，即 ，化简得 。于是 ， 。 其对称轴为 ，而 ，故当 或 时取到最小值 。 方法小结：等差数列前 项和的最值，先把 写成关于 的二次函数，再用配方法求出对称轴，并比较最靠近对称轴的两个正整数。
变式一记 为数列 的前 项和，已知 ． （1）证明： 是等差数列； （2）若 ，， 成等比数列，求 的最小值．
变式二记 为数列 的前 项和，已知 ，若 ，， 成等比数列，求 的最小值。
407

等比数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 表示。
(2)等比中项：如果 成等比数列，那么 叫做 与 的等比中项。即： 是 与 的等比中项 成等比数列 .
408

等比数列的有关公式

(1)通项公式： ，
(2)前 项和公式： （ 时可记忆化简式 速算）
(3)公比:
【提醒】在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量： ， ，n，q， ，其中首项 和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答.
高考真题2023·全国甲卷·第5题单选
已知正项等比数列 中，， 为 的前 项和，，则 （　　）
A．
B．
C．
D．
答案 C（）
解析 设公比为 （）。由 得 。 左边 ；右边 。 约去 与 ，得 ，即 ，。 于是 ，故选 C。 等比数列基本公式：；（），当 时 ；另有 与 。
变式一已知正项等比数列 的前 项和为 ，若 ，，求公比 与首项 。
变式二已知正项等比数列 的前 项和为 ，，，若 ，求 。
409

等比数列的判定方法

(1)定义法： 为非零常数， 是等比数列.
(2)等比中项法：数列 中， 且 数列 是等比数列.
(3)通项公式法： 特征 均是不为0的常数， 是等比数列.
(4)前 项和公式法： 特征(A为常数且 ， 是等比数列.
【提醒】前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明，而后两种方法仅用于选择题、填空题中的判定.
410

等比数列的单调性的判断方法

(1)当 ， 或 ， 时， 是递增数列.
(2)当 ， 或 ， 时， 是递减数列.
(3)当q<0时， 是摆动数列.
(4)当 时， 是常数列.
411

等比数列的常用结论

(1)若 ，则 ；特别地，若 ，则
(2)若 是公比为 的等比数列，则 是公比为 的等比数列； 是公比为 的等比数列；奇数项数列 是公比为 的等比数列；偶数项数列 是公比为 的等比数列； 是公比为 的等比数列； 是公比为 的等比数列；
(3)若 (项数相同)分别是公比为 等比数列，则 是公比为 的等比数列； 是公比为 的等比数列；
(4)若数列 是公比为q的等比数列， ，则 构成公比为 的等比数列；
(5)公比 或 且 为奇数时， 仍是等比数列，公比为 ;
(6)若数列 是公比为 的等比数列，则对任意的 ，有 ；
(7)等比数列 中，若项数为 ，则 ；若项数为 ，则 ：
(8)当 时， ；当 时， .
高考真题2025·新高考Ⅱ卷·第9题多选
记 为等比数列 的前 项和， 为 的公比，．若 ，，则（　　）
A．
B．
C．
D．
答案 AD
解析 由 得 ，代入 ，得 ，即 。因 ，所以 ，A 正确。 此时 ，，。 B：，错误；C：，错误； D：，正确。故选 AD。 常用结论：（），本题的 正是由此而来。
变式一记 为等比数列 的前 项和， 为 的公比，．若 ，，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
变式二已知等比数列 的前 项和为 ，，，求 与 ，并验证 。
412

等比数列设项技巧

(1)若三数成等比数列，常设成 ， 或 ;
(2)若四个数成等比数列，可设为 ， 或设为 ， ， （公比为正时）.
高考真题2025·新高考Ⅰ卷·第13题填空
若一个正项等比数列的前 项和为 ，前 项和为 ，则该等比数列的公比为 ______．
答案
解析 设首项为 ，公比为 。 设项技巧：等比数列问题一律先设两个基本量 ，把条件翻译成关于 的方程组；而当出现"前 项和"与"前 项和"这类成倍关系时，直接用 最快捷。 由 得 ，故 。因为 ，所以 。 （若用求和公式：，，两式相除同样得 ，即 。）
变式一若一个正项等比数列的前 项和为 ，前 项和为 ，则该等比数列的公比为 ______．
变式二已知正项等比数列 中，，，求 的通项公式与前 项和 。
413

绝对值型数列求和的解题策略

设数列 的前 项和为 ，求数列 的前 项和为 .
(1)数列 先正后负，找出数列 正负项的分界点，假设前 项非负：
①当 的项数 时， ；
②当 的项数 时， .
(2)数列 先负后正，找出数列 正负项的分界点，假设前 项非正：
①当 的项数 时， ;
②当 的项数 时， .
【提醒】求出 后一般需分段表示.
414

非特殊数列的求和方法

(1)倒序相加法：如果一个数列 中，与首末两项等“距离”的两项之和等于首末两项之和，那么求这个数列的前 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 项和即是用此法推导的.
(2)错位相减法：主要适用于 是等差数列， 是等比数列，求数列 的前 项和，如等比数列的前 项和就是用此法推导的.
(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(4)分组求和法: 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成, 则可分别求和后再相加减.
(5)并项求和法: 一个数列的前 项和, 可将相邻几项合并后再求和, 则称之为并项求和. 形如 类型, 可采用两项合并求解.
415

用错位相减法求和的解题步骤

(1)巧分析：把数列的通项化为等差数列、等比数列的通项的积，并求出等比数列的公比；
(2)构差式：先列出前 项和的表达式，然后乘以等比数列的公比得到一个新的表达式，两式作差；
(3)得结论：即根据差式的特征进行准确求和.
【提醒】①若等比数列部分的公比为参数，利用此法时要注意讨论公比 是否等于1；②在写出 与 的表达式时，应注意使两式“错位对齐”，以便于作差后正确写出 的表达式；③基于错位相减法求和结果 （其中 是与 无关的常数）特征，可记忆 ，也可通过 用待定系数法列方程解出 ，即可速算正确结果.
高考真题2024·全国甲卷·第18题解答
记 为数列 的前 项和，已知 ． （1）求 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 ．
答案 （1）； （2）
解析 错位相减法三步骤：① 认结构——数列形如"等差×等比"，即第 项为 ；② 错位对齐——把 与 写成上下两行，使同类项上下对齐；③ 作差消元——两式相减后，中间部分变成等比数列，再用求和公式算出。 本题中 ，是"等差×等比"型。 第一步：由（1）得 （ 时单独验证 得 ； 时作差得 ），故 。 第二步：， 。 第三步：两式相减（错项对齐）得 ， 整理得 。 检验： 时 ，公式给出 ，正确。
变式一已知数列 满足 ，求数列 的前 项和 。
变式二已知等比数列 的公比为 ，，求数列 的前 项和 。
416

裂项相消法求和的基本步骤

(1)裂项：观察数列的通项，将通项拆分成两项之差的形式，常见形式有：
③ 是公差为 的等差数列，则
(2)累加：将数列裂项后的各项相加；
(3)消项：将中间可以消去的项相互抵消，将剩余的有限项相加，得到数列的前 项和.【提醒】消项后，前后所剩项数相等，不一定只剩下首尾两项，也有可能因隔项相消前面剩下两项，后面剩下两项，但剩余项有前后对称的特点.
高考真题2022·新高考Ⅰ卷·第17题解答
记 为数列 的前 项和，已知 ， 是公差为 的等差数列． （1）求 的通项公式； （2）证明：．
答案 （1）； （2）
解析 （1）由 是首项为 、公差为 的等差数列，得 ，即 。当 时作差得 ，累乘得 。 （2）裂项相消法四步骤：① 识别结构——分母是两个一次因子的乘积（这里 ）；② 裂项——把一项拆成两项之差，；③ 写前几项观察规律，确认相邻两项能首尾相接；④ 相消求和——中间项全部抵消，只剩首尾两项。 于是 ， 因为 ，故原不等式成立。
变式一已知 （），求 。
变式二已知 ， 是公差为 的等差数列，求 的通项公式，并求 。
417

数学归纳法

证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)（归纳奠基）证明当 ， 时命题成立；
(2)（归纳递推）以“当 ， 时命题成立”为条件，推出“当 时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题从 开始的所有正整数 都成立，这样证明方法称为数学归纳法.
418

数学归纳法常见的应用公式

(1) ;
02

第五章 一元函数的导数及其应用

45 条 · 原书 P103
419

变化率问题

(1)平均速度：设物体运动的位移与时间的关系是 ，从 到 时间段内的平均速度 .
(2)瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
若物体运动的位移与时间的关系式是 ，当 趋近于0时，平均速度 趋近于常数，我们把这个常数叫做物体在 时刻的瞬时速度，记为 .
420

求运动物体瞬时速度的步骤

(1)求时间改变量 和位移改变量 ;
(2)求平均速度 ;
(3)求瞬时速度，当 无限趋近于0时， 无限趋近于常数，即
421

割线斜率与切线斜率

(1)割线与切线的关系
如图所示，当点 沿着曲线 无限趋近于点 时，割线 无限趋近于一个确定的位置．这个确定位置的直线 称为曲线 在点 处的切线．
xyOy=f(x)TP0P1
(1)
xyOy=f(x)TP0P2
(2)
xyOy=f(x)TP0P3
(3)
xyOy=f(x)TP0P4
(4)
(2)割线斜率与切线斜率的关系
割线 的斜率是 ，当点 沿着曲线无限接近点 时， 无限趋近于切线 的斜率 ，即 ：
高考真题2024·全国甲卷·第6题单选
设函数 ，则曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（　　）
答案 （原题选 A）
解析 割线斜率 （）是切线斜率 的极限；切线斜率既可由 直接得到，也可理解为割线斜率的极限。 本题 。由商的求导法则 ， 得 ，即切线斜率为 。 由点斜式，切线方程为 ，即 。它与 轴交于 ，与 轴交于 ， 所以所围三角形面积为 。
变式一设函数 ，求曲线 在点 处的切线方程与两坐标轴所围成的三角形的面积。
变式二设函数 （），求曲线 在点 处的切线方程。
422

求函数 在 处的切线斜率的步骤

求函数的改变量求函数的平均变化率取极限，得斜率¢y=f(x0+¢x)¡f(x0)¢y¢x=f(x0+¢x)¡f(x0)¢xk=lim¢x!0¢y¢x=lim¢x!0f(x0+¢x)¡f(x0)¢x
423

函数的平均变化率

对于函数 ，设自变量 从 变化到 ，相应地，函数值 就从 变化到 。这时 的变化量为 ， 的变化量为 。
把比值 叫做函数 从 到 的平均变化率.
424

导数的概念

(1)定义: 如果当 时, 平均变化率 无限趋近于一个确定的值, 即 有极限, 则称 在 处可导, 并把这个确定的值叫作 在 处的导数 (也称为瞬时变化率).
(2)写法：记作 或 ，即 .
425

求函数 在点 处的导数的步骤

求增量求平均变化率取极限，得导数¢y=f(x0+¢x)¡f(x0)¢y¢x=f(x0+¢x)¡f(x0)¢xf0(x0)=lim¢x!0¢y¢x=lim¢x!0f(x0+¢x)¡f(x0)¢x
426

导数的几何意义

(1)切线：如图，在曲线 上任取一点 ，如果当点 沿着曲线 无限趋近于点 时，割线 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 称为曲线 在点 处的切线.
(2)几何意义：函数 在 处的导数 就是切线 的斜率 ，即 .
xyOy=f(x)P0TPx0f(x0)
高考真题2024·新课标Ⅱ卷·第6题单选
设函数 ，，当 时，曲线 与 恰有一个交点，则 （　　）
A．
B．
C．
D．
答案 D
解析 导数的几何意义：曲线 在点 处的切线斜率等于 ；若两条曲线在公共点处不相切，则它们在该点附近穿过，交点必成对出现。 令 ，则 ，，。 因为 ， 是 的驻点，两曲线在 处相切（导数的几何意义）。要在 内恰有一个交点，这个交点只能是切点，故 ，即 ，。 验证： 时 ，在 上 （因 ），在 上 （因 ），故 在 处取唯一最小值 ，即 且仅在 处取等号，两曲线在 内确有唯一交点。故选 D。
变式一设函数 ，，若曲线 与 恰有一个公共点，求 的值。
变式二设函数 （），，若曲线 与 恰有一个公共点，求 的取值范围。
427

导数与函数图象升降的关系

若函数 在 处的导数存在且 （即切线的斜率大于零），则函数 在 附近的图象是上升的；若 （即切线的斜率小于零），则函数 在 附近的图象是下降的。导数绝对值的大小反映了曲线上升或下降的快慢。
428

导函数

(1)定义：当 变化时， 就是 的函数，称它为 的导函数（简称导数）.
(2)写法：记作 或 ，即 .
429

求函数 的导函数的步骤

(1)求函数的改变量 ;
(2)求平均变化率 ;
(3)取极限，得导数 .
上述求导步骤可简记为“一差、二化、三极限”.
430

基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数
( 为常数)
( 且 )
( 且 )
( 且 )
高考真题2025·新高考Ⅱ卷·第10题多选
已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，，则（　　）
A．
B．当 时，
C．，当且仅当
D． 是 的极大值点
答案 ABD
解析 基本初等函数的导数公式：，，，，。 A： 是 上的奇函数，所以 ，正确。 B：当 时 ，由奇函数性质 ，正确。 C：当 时 。因 ， 时 ， 时 ，故 是极小值点，；由奇偶性知 是极大值点，极大值为 ，且 。而在 的一侧同样存在使 的点（如极大值点 ），故"当且仅当 "不成立，错误。 D：由上面的单调性， 是极小值点；奇函数图象关于原点中心对称，故 是极大值点，正确。 故选 ABD。
变式一已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，，求 并判断 是否为 的极值点。
变式二求 在区间 上的最大值，并写出取得最大值时的 的值。
431

导数的运算法则

(1) (c 为常数);
(2) ;
(3) ;
(4)
高考真题2025·新高考Ⅱ卷·第13题填空
若 是函数 的极值点，则 ______．
答案
解析 乘积法则：，多因子依次相乘即可。 。 因为 是极值点，所以 ， ，故 。 于是 。 注意： 是极值点意味着 ，但 只是必要条件；本题代入后确实满足（ 时 ，，在 两侧变号， 是极小值点），所以结论成立。
变式一若 是函数 的极值点，求 的值。
变式二已知 ，求 的值。
432

导数中的函数构造问题

(1) 型可构造
(2) 型可构造
(3) 型可构造 .
(4) 型可构造
(5) 型可构造
433

利用积商特征常见构造函数技巧

(1) 型可构造
(2) 型可构造
(3) 型可构造
(4) 型可构造
434

复合函数的求导法则

(1)复合函数的概念：对于两个函数 和 ，如果通过中间变量 可以表示成 的函数，那么称这个函数为函数 和 的复合函数，记作 .
【提醒】其中 叫做内层函数， 叫做外层函数.
(2)复合函数的求导法则：对于由函数 和 复合而成的函数 ，它的导数与函数 ， 的导数间的关系为 ，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.
高考真题2025·新高考Ⅱ卷·第18题解答
已知函数 ，其中 ． （1）证明： 在区间 存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设 ， 分别为 在区间 的极值点和零点． 设函数 ，证明： 在区间 单调递减； 比较 与 的大小，并证明你的结论．
答案 （1）证明见解析； （2）（）证明见解析；（）
解析 复合函数求导法则：若 在 处可导， 在 处可导，则 。本讲中 、 都是"外层导数乘内层导数"。 （1）。 令 得 （因 ）。 于是 （），（），故 在 上递增、在 上递减， 是唯一极值点（极小值点）。 又 ， 在 上严格递增，故 ；当 时 （ 为主项）。 所以 在 上由正变负，恰有一个零点 ，而在 上 无零点。 （2）（），把 代入并整理，结合 与 可得 （），故 在 上单调递减。 （）由 且 在 上严格递减，得 （），从而 。 若 ，则 ，而 递减又 （），与 矛盾；故 。 又 在 上单调递减且 ，所以 推出 。
变式一已知函数 （），求 ，并判断 在区间 上的单调性。
变式二已知函数 （），求 ，并证明 。
435

求复合函数导数的步骤

(1)分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数
(2)分别求导：分别求各层函数对应变量的导数
(3)相乘：把上述求导的结果相乘
(4)变量回代：把中间变量回代
【提醒】①要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆；②在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤.
436

利用导数求曲线切线的方法

(1)点 是切点：切线方程为
(2)已知点 不是切点，则应先求出切点的坐标，步骤如下：
①设出切点的坐标 ；
②列等式 ，解出切点坐标；
③利用点斜式或两点式写出切线方程.
高考真题2024·新课标Ⅱ卷·第16题解答
已知函数 ． （1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程； （2）若 有极小值，且极小值小于 ，求 的取值范围．
答案 （1）； （2）
解析 利用导数求曲线切线的三步骤：① 求 ；② 把 代入求出切线斜率 与切点 ；③ 用点斜式 写出切线方程。 （1）当 时，，，，。 切线方程为 ，整理得 ，即 。 （2）。当 时 ， 恒成立， 单调递增，无极小值，不合题意。 当 时，令 得 。 在 上单调递减，在 上单调递增，故极小值为 。 由极小值小于 得 ，因 ，两边同除以 得 ，即 。 令 ，则 ， 在 上单调递增，且 ，所以 当且仅当 。 故 的取值范围是 。
变式一已知函数 （），求曲线 在点 处的切线方程。
变式二已知函数 ，求曲线 在点 处的切线方程。
437

已知曲线 在 处的切线方程为 ，求参数值的具体解题步骤

(1)利用导数的几何意义求出切线的斜率，得 .
(2)根据切点既在曲线上又在切线上，可得 .
(3)解方程组 ，即可求出参数的值.
高考真题2025·新高考Ⅰ卷·第12题填空
若直线 是曲线 的切线，则 ______．
答案
解析 已知切线方程求参数值的步骤：① 把参数写进函数解析式并求导；② 由"切线斜率等于导数值"求出切点横坐标 ；③ 由切点同时在曲线上与切线上，把 代入切线方程求出参数。 本题：令 ，则 。由切线斜率为 得 ，即 ，。 此时 ，而直线 在 处的纵坐标为 ，故 ，。 注意：切点既在曲线上又在切线上，两个条件缺一不可；只用一个条件会得到多余解。
变式一若直线 是曲线 的切线，求 的值。
变式二已知曲线 与直线 相切，求 的取值范围（）。
438

利用导数研究函数图象的公切线问题

(1)曲线 和曲线 在公共点处有公切线
设公切点坐标为 ，则有
(2)公切线 与曲线 相切于不同的点
设公切线 l 与曲线 的切点为 ，与曲线 的切点为 ，则有
439

导数与函数单调性的关系

函数 在区间 内可导，则
(1) 在 上为增函数.
(2) 在 上为减函数.
【提醒】函数 在 上是增(减)函数的充要条件是对 ，都有 且 在 上的任意子区间内都不恒为零.
高考真题2024·新课标Ⅱ卷·第11题多选
设函数 ，则（　　）
A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在 ，使得 为曲线 的对称轴
D．存在 ，使得点 为曲线 的对称中心
答案 AD
解析 导数与函数单调性的关系是本讲的主线：先由 的符号确定单调区间与极值，再由单调性与极限符号判断零点个数。 。 A： 时， 在 与 上单调递增，在 上单调递减；，，且 时 ， 时 。由零点存在定理， 在三个区间上各有一个零点，正确。 B： 时， 在 上单调递减，在 与 上单调递增，故 是极小值点而不是极大值点，错误。 C：三次函数 当 时趋于 ，当 时趋于 ，其图象不可能关于某条直线对称，错误。 D：当 时 ，图象关于点 中心对称，而 ，即 是对称中心，正确。 故选 AD。
变式一讨论函数 的单调性。
变式二已知函数 的图象在点 处的切线与 轴平行，求 与 的关系。
440

求可导函数单调区间的步骤

(1)求 （尽量通分及因式分解）并注明定义域；
(2)求方程 的根；
(3)用 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间；
(4)根据各小开区间 正负符号判断对应区间为单调递增区间或单调递减区间.
【提醒】①若具有相同单调性的区间端点连续且该端点处 有意义，则两段开区间可合写为一个，其他情况不能将区间U起来。②若小题只求单调区间时也可在定义域内解不等式 或 。
高考真题2024·新课标Ⅱ卷·第16题（2）解答
已知函数 ．若 有极小值，且极小值小于 ，求 的取值范围．
答案
解析 求可导函数单调区间的步骤：① 求定义域并求导；② 解 （或 ）得递增区间，解 （或 ）得递减区间；③ 写单调区间时，端点处导数为 要单独讨论该点能否取到。 本题 。 当 时， 恒成立， 在 上单调递增，无极小值，不合题意。 当 时，，，故 在 上单调递减、在 上单调递增，极小值为 。 由 得 。令 ，则 ，，故 。 结论： 的取值范围是 。
变式一求函数 的单调区间。
变式二求函数 （）的单调区间，并写出它的极值点。
441

已知函数的单调性，求参数取值范围的方法

(1)转化为不等式恒成立问题
①若函数 在某区间上单调递增 在该区间上恒成立.
②若函数 在某区间上单调递减 在该区间上恒成立.
(2)转化为不等式有解问题
①若函数 在某区间上存在单调递增区间 在该区间上有解.
②若函数 在某区间上存在单调递减区间 在该区间上有解.
(3)转化为区间的包含关系
若已知 在区间 上单调递增（减），则区间 是相应单调区间的子集.
【提醒】若函数 在区间 上不单调，则转化为 在 上有解（需验证解的两侧导数是否异号）.
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第4题单选
设函数 ，在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
答案 D（）
解析 已知单调性求参数范围，标准做法是"把参数先搁在一边"：对含参函数，先讨论 的符号，再让端点处的导数满足单调所需的不等式。 。要在 上单调递减，需 对一切 成立。 关于 递增，其上确界在 处取到，等于 ，故需 ，即 。 注意两点：① 单调区间是开区间时，端点处的极限值只需 ；② 若题给闭区间 ，则需在 处也取到 ，结论相同。 故 ，选 D。
变式一设函数 ，在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　）
A．
B．
C．
D．
变式二已知函数 在区间 上存在零点，求实数 的取值范围。
442

函数值变化快慢与导数的关系

设函数 ，在区间 上：
导数的绝对值函数值变化函数的图象
越大快比较“陡峭”(向上或向下)
越小慢比较“平缓”(向上或向下)
443

函数图象与导函数图象之间关系

导函数 图象在x轴上方时对应的自变量的取值区间为原函数 图象上升部分对应的区间（单调递增区间），导函数 图象在x轴下方时对应的自变量的取值区间为原函数 图象下降部分对应的区间（单调递减区间）.
444

极小值、极大值的概念

(1)极小值：函数 在点 处的函数值 比它在点 附近其他点处的函数值都小， ；而且在点 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数 的极小值点， 叫做函数 的极小值.
(2)极大值：函数 在点 处的函数值 比它在点 附近其他点处的函数值都大， ；而且在点 附近的左侧 ，右侧 ，就把 叫做函数 的极大值点， 叫做函数 的极大值.
【提醒】①极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
②可导函数 在点 取得极值的充要条件是 ，且在 左侧与右侧 的符号不同。（可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点。例如函数 在x=0处有 ，但x=0不是极值点。）
③极大值与极小值的值不具有确定性，可能有多个，也可能没有.
④函数的极值点不是点，它是函数极值对应的自变量的值.
445

函数极值和极值点的求解步骤

(1)确定函数的定义域;
(2)求方程 的根；
(3)用方程 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；
(4)由 在方程 的根左右的符号，来判断 在这个根处取极值的情况.
446

已知函数的极值求参数的方法

(1)利用函数的极值确定参数的值，常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解（结果需说明已通过检验）；
(2)对于函数无极值的问题，即说明在某区间上单调递增或单调递减，转化为其导函数的值非负或非正在该区间内恒成立的问题.
高考真题2025·新高考Ⅱ卷·第13题填空
若 是函数 的极值点，则 ______．
答案
解析 已知函数的极值求参数的方法：极值点处必有 ，把 代入 解出参数，再代回求所求的函数值。 。 由 是极值点得 ，即 ，解得 。 于是 。 易错提醒：只由 解出参数后，要回头检验 在 两侧是否变号；本题 时 ，，在 两侧确实变号， 是极小值点，结论成立。
变式一若 是函数 的极值点，求 的值。
变式二已知函数 ，求 的极值点与极值。
447

函数 在区间 上的最值

(1)取得最值的条件：在区间 上函数 的图象是一条连续不断的曲线.
(2)结论：函数 必有最大值和最小值，函数的最值在极值点或区间端点处取得.
高考真题2025·新高考Ⅰ卷·第19题解答
设函数 ． （1）求 在 的最大值； （2）给定 ， 为给定实数，证明：存在 ，使得 ； （3）若存在 使得对任意 ，都有 ，求 的最小值．
答案 （1）最大值为 ； （2）证明见解析； （3） 的最小值为
解析 （1）求闭区间上最值的步骤：① 求 ；② 由 求出区间内的驻点；③ 把驻点与端点的函数值比较，最大值取最大、最小值取最小。 。 在 上，，而 在 内由正变负并在 处为 ，故 在 上递增、在 上递减。 于是 ， 而 ，，比较可知最大值为 。 （2）由（1）的结论可知 在 上的最大值为 ；对 ，利用余弦函数的周期性把 化到 内讨论，可证在区间上存在 使 。 （3）令 ，其最大值为 （取 时达到），故要使 对任意 恒成立，必须 ，且 时取 确实成立，所以 的最小值为 。
变式一求函数 在区间 上的最大值与最小值。
变式二求函数 在区间 上的最大值与最小值。
448

求函数 在 上的最大(小)值的步骤

(1)确定函数的定义域，对函数进行求导，并检验 的根是否在给定区间内.
(2)判断函数的单调性，研究函数的极值.
(3)比较函数的极值与端点函数值的大小，确定函数的最大值或最小值.
449

画函数 大致图象的一般步骤

(1)求出函数 的定义域；
(2)求导数 及函数 的零点；
(3)用 的零点将 的定义域划分为若干个区间，列表给出 在各区间上的正负，并得出 的单调性与极值；
(4)确定 的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；
(5)画出 的大致图象.
450

熟练掌握6个函数的图象（注意把握极值点、单调性、渐近线特征）

xyOf(x)=xex¡1¡1e
xyOe1f(x)=exx
xyO1e1f(x)=xex
xyO1e¡1e1f(x)=xlnx
xyO1e1ef(x)=lnxx
451

三次函数零点个数的判断方法

学霸 ★
xyOeef(x)=xlnx
三次函数求导后是一个二次函数，通过判断导函数零点的情况，得出函数的单调性.
(1)当极大值和极小值都为正或都为负时，函数只有一个零点.
(2)当极大值或极小值恰好有一个等于零时, 函数有两个零点.
(3)当极大值和极小值一个为正，一个为负时，函数有三个零点.
452

导数大题中函数零点个数问题的解决方法

学霸 ★
(1)理论依据：零点存在性定理
(2)一般步骤：
①讨论函数 的单调性，寻找 的单调区间
②在每一个单调区间 上，要么证明 恒为正数或恒为负数，要么在该区间上找到一对函数值符号相反的点 ，从而说明函数在该单调区间上恰有一个零点，且零点位于区间 内.
③综合考虑每个单调区间上的零点情况，作出总结.
(3)解题关键：在单调区间上寻找一对函数值符号相反的点是关键，亦是难点.
【提醒】在特定区间上寻找函数值为正（或负）的点常用方法：①直接放缩“找点”；②拆项放缩“找点”；③根据经验与数感进行尝试与验证.
高考真题2025·新高考Ⅱ卷·第18题（1）解答
已知函数 ，其中 ．证明： 在区间 存在唯一的极值点和唯一的零点．
答案 证明见解析
解析 导数大题中"零点个数"问题的通用解法：把零点个数转化为"单调区间上函数值的符号变化"来数。 求导并因式分解： 。 因 时 、，故 的符号由 决定。 令 得 。由 知 。 于是 （），（）： 在 上严格递增、在 上严格递减，故 是 在 上唯一的极值点（极小值点）。 再数零点：，而 在 上严格递增，故 （），该区间无零点；当 时 （ 为主项），又 ，由连续性与在 上严格递减，知该区间恰有一个零点 。 故 在 上存在唯一的极值点和唯一的零点。 策略总结：① 先由导数零点把定义域切成单调区间；② 再由各单调区间端点处的函数值符号（结合连续性与极限）判断每个区间上零点的个数；③ 用"零点存在唯一性"把结论说清楚。
变式一已知函数 ，讨论 在 上的零点个数，并指出各零点所在的区间。
变式二已知函数 在区间 上有且只有一个零点，求实数 的取值范围。
453

导函数的零点不可直接求时的应对策略

学霸 ★
(1)“特值试探” 法
当导函数的零点不可求时，可尝试利用特殊值试探，此时特殊值的选取应遵循以下原则：
①在含有 的函数中，通常选取 ，特别地，选当 即 时来试探；
②在含有 的函数中，通常选取 ，特别地，选当k=1即x=0时来试探；
③在探得导函数的一个零点后，结合导函数的单调性，确定导函数在零点附近左右两侧的符号，进而确定原函数的单调性和极值，使问题得到解决.
(2)“虚设和代换” 法（隐零点）
当导函数 的零点无法求出显性的表达式时，可以先证明零点存在，再虚设为 ，接下来通常有两个方向：
①由 得到一个关于 的方程，再将这个关于 的方程的整体或局部代入 ，从而求得 ，然后解决相关的问题；
②根据导函数 的单调性，得出 附近左右两侧导函数的正负，进而得出原函数的单调性和极值，使问题得解.
454

常用的不等式结论（利用导函数理解）

学霸 ★
(1)对数形式: , 当且仅当 时, 等号成立.
结论1： ，在 中，进行 的代换，即证.
结论 2: ，在 中，进行 的代换，即证.
结论3： ，由 及 即得.
结论 4: ，在结论 中，两边同除以 。
结论 5: ，在 中，进行 的代换，即证.
结论6： ，在结论 中，两边同乘 ：
结论 7: , .
(2)指数形式: , 当且仅当 时, 等号成立.
结论 1: ，在 中，取 后脱 符号即证.
结论2:
结论3： ，此为泰勒展开式.
结论 4:
结论 5:
【提醒】进一步可得到一组不等式链： 且
(3)与三角函数有关的不等式
当 时， ；当 时， 。
455

麦克劳林公式逼近法

学霸 ★
若函数 在开区间 有直到 阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于 的多项式和一个余项的和：
由此得近似公式 （ 较小时更精确），高中常用如下：
(1)
(2)
(3)
456

洛必达法则

学霸 ★
“洛必达法则”是高等数学中的一个重要定理，用分离参数法（避免分类讨论）解决能成立或恒成立问题时，经常需要求在区间端点处的函数值或最值，若出现 型或 型，可以考虑使用洛必达法则.
法则 1 若函数 和 满足下列条件:
① 及
②在点a的某去心邻域内， 与 可导且 ;
③ ，那么
法则 2 若函数 和 满足下列条件：
① 及
②在点a的某去心邻域内， 与 可导且 ;
③ ，那么
【提醒】当 中“ ”可以是某个具体的数，也可以是 或
457

利用导数证明不等式的常见转化策略

学霸 ★
(1)把证明 转化为证明 .
(2)把证明 转化为证明 .
(3)把证明 转化为证明
(4)把证明 转化为证明 。
(5)把证明 转化为证明 （注意本法有局限性）.
(6)把证明 转化为证明 .
(7)把证明 转化为证明 （此为放缩法）.
(8)改变不等式结构，重新构造函数证明不等式.
458

指对变形技巧：对数单身狗、指数找基友

学霸 ★
(1)在证明或处理含对数函数的不等式时，通常要将对数型的函数“独立分离”出来，这样再对新函数求导时，就不含对数了，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导。这种相当于让对数函数“孤军奋战”的变形过程，我们形象地称之为“对数单身狗”。如：由 （假设 ），则 不含超越函数，求解过程简单。
(2)在证明或处理含指数函数的不等式时，通常要将指数型的函数“结合”起来，即让指数型的函数乘以或除以一个多项式函数，这样再对新函数求导时，只需一次就可以求出它的极值点，从而避免了多次求导。这种相当于让指数函数寻找“合作伙伴”的变形过程，我们形象地称之为“指数找基友”。
如：由 ，则 是一个多项式函数，变形后可大大简化运算.
459

极值点偏移问题

学霸 ★
已知函数 是连续函数，在区间 内有且只有
xf(x)cx1x0x2
图(1)
(无偏移，左右对称，二次函数)若 ，则 .
xf(x)cx1x0x2
xf(x)cx1x0x2
图(2)
图(3)
(左陡右缓，极值点向左偏移)若 ，则 .
(左缓右陡，极值点向右偏移)若 ，则 .
一个极值点 ，且 ，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点 我们称这种状态为极值点不偏移（如图1）；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点 的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”（如图
2、图3）.
高考真题2025·新高考Ⅱ卷·第18题（2）解答
已知函数 ，其中 ．设 ， 分别为 在区间 的极值点和零点． 设函数 ，证明： 在区间 单调递减； 比较 与 的大小，并证明你的结论．
答案 （）证明见解析；（）
解析 极值点偏移问题的标准处理：设极值点为 、零点为 ，目标是比较 与 。核心是"作差构造对称函数"，把两个自变量关于 对称起来。 （）由 ，令 ，则 。 把 的表达式代入并整理（用 满足 化简），结合 可得 （），故 在 上单调递减。 （）由 且 在 上严格递减，得 （）。 取极限得 。 若 ，则 ，但 递减又 （），矛盾；故 。 又 在 上单调递减且 ，于是 推出 。 常用套路小结：① 作差构造 ；② 用 的单调性比较 在 两侧对称点的函数值；③ 结合单调性与零点位置，得出 与 的大小。
变式一已知函数 ， 是其在 上的唯一零点， 是其极小值点（），比较 与 的大小。
变式二已知函数 （），其极大值点为 ，方程 在 上的解为 ，比较 与 的大小。
460

极值点偏移问题的常用解法

学霸 ★
(1)利用对数均值不等式： （其中 ），步骤如下：
①通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出 及 ;
②通过等式两边同除以 构建对数平均数 ;
③利用对数均值不等式将 转化为 后再证明 （或 ）. 【提醒】大题使用对数均值不等式结论时需在解题过程中给出证明.
(2)对称构造法
对称变换主要用来解决与两个极值点之和或差相关的不等式的证明问题，解题要点如下：
①定极值点：即利用导函数符号的变化判断函数的单调性，进而确定函数的极值点 ，由 得 的取值范围（可作出 的图象使用数形结合）.
②构造函数：即根据极值点构造对称函数，对结论 ，构造 ；对结论 ，构造
③比较大小：即利用导数讨论 的单调性，判断函数 在某段区间上的正负，进而得出 与 （或是 与 ）的大小关系.
④转化: 即根据函数 的单调性, 将 与 (或是 与 ) 的大小关系转化为两个极值点之间的关系, 进而得到所证或所求.
【提醒】若要证明 的符号问题，还需进一步讨论 与 的大小，得出 所在的单调区间，从而得出 的正负，进而证得结论.
(3)比（差）值换元法
比（差）值换元的目的也是消参、减元，就是先根据已知条件建立极值点之间的关系，然后利用两个极值点之比（差）作为变量，从而实现消参、减元的目的。设法用 表示两个极值点的比值或差值，进而将所求解问题转化为关于 的函数问题求解。步骤如下：
①建等式，即利用极值点所满足的条件（如 ）建立两个关于极值点 ， 的方程（等量关系中如果含有参数，可考虑消参；如果含有指数式，可考虑两边取对数）；
②设比差,即根据两个数值之间的大小关系,选取两数之商或差(即 或 )作
为变量，建立两个极值点之间的关系；
③定关系，即用一个极值点与比值或差值表示另一个极值点，代入方程整理，通过两个方程之差或商构造极值点与比值或差值之间的关系，进而通过解方程用比值或差值表示两个极值
点：
④构函数，即将关于极值点的目标代数式用比值或差值表示出来，构造关于 的函数：
⑤解问题，即利用导数研究所构造的函数的单调性、极值、最值等，解决相应的问题.
(4)消参减元法
消参减元，主要是利用导数把函数的极值点转化为导函数的零点，进而建立参数与极值点之间的关系，消去参数或减少变元，从而简化目标函数。其解题要点如下：
①建方程：求函数的导函数，令 ，建立极值点所满足的方程，抓住导函数中的关键——导函数解析式中变号的部分（一般为一个二次整式）.
②定关系：即根据极值点所满足的方程，利用方程的根的相关知识，建立极值点与方程系数之间的关系.
③消参减元: 即根据两个极值点之间的关系, 利用和差或积商等运算, 化简或转化所求解问题, 消掉参数或减少变量的个数.
461

导数中双变量问题的常见处理策略

学霸 ★
(1)相互替代法: 当出现双变量问题时, 若能将双变量中所有变量统一用其中一个变量来替换, 这样就将双变量问题转化为我们熟知的单变量问题, 从而为我们的解题带来便利.
(2)主元法: 当问题中含有的变量较多且变量之间互不影响时, 可以选择一个量作为主元, 并以此为线索来解决问题, 这样的方法叫做主元法.
(3)引入变量法：当题目中的变量之间的关系比较隐蔽或无法相互替换时，可以考虑引入新的变量，用新的变量来表示其他变量，达到减少变量的目的.
(4)整体代换法：有些题目可以通过整体代换突破双变量的困扰，将双量问题化为单变量问题。常见的整体代换有比值代换、差值代换、乘积代换三种。
462

导数中的常见同构技巧

学霸 ★
(1)地位同等要同构，两边变成同形式.
(2)指对跨阶想同构，同左同右取对数.
①积型：
②商型：
③和差型：
(3)无中生有去同构，凑好形式是关键.
① ，后面的转化同(2)①.
③ ，后面的转化同(2)①.
【变形技巧】 等.
463

端点效应（也称必要性探路法）

学霸 ★
(1)适用题型: 不等式恒成立问题中, 条件已知函数 与某个常数之间恒定的大小关系, 含参恒过定点, 定点刚好是区间端点, 求参数的范围.
(2)思想与步骤:
①由端点效应初步获得参数的取值范围，这个范围是必要的；
比如： 在 上恒成立，且
②利用这个范围去判断导数是否恒正或者恒负；
③如果导数不变号，则由端点得到的范围是最终答案，如果导数变号，则去判断函数的增减性（若函数先减后增，则最大值在端点处取得，若函数先增后减，则最小值在端点处取得）. 【建议】解答题作答格式上使用分类讨论的形式进行书写.
SELECTIVE · 选必第三册

选择性必修第三册

共 43 条知识点，3 章。

01

第六章 计数原理

14 条 · 原书 P115
464

常用计数原理

(1)分类加法计数原理: 完成一件事有 类不同的方案, 在第一类方案中有 种不同的方法,在第二类方案中有 种不同的方法, ……, 在第 类方案中有 种不同的方法, 则完成这件事共有 种不同的方法。分类加法计数原理针对“分类”问题, 其中各种方法相互独立, 用其中任何一种方法都可以做完这件事。
(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要分成 个不同的步骤，完成第一步有 种不同的方法，完成第二步有 种不同的方法，……，完成第 步有 种不同的方法，那么完成这件事共有 种不同的方法。分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事。
【提醒】求既需要进行“分类”，又需要进行“分步”的计数问题时，首先要明确是先“分类”后“分步”，还是先“分步”后“分类”；其次在“分类”和“分步”的过程中，要明确分类标准和分步顺序.
高考真题2023·新高考Ⅱ卷·第3题单选
某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 名和 名学生，则不同的抽样结果共有（　　）
A． 种
B． 种
C． 种
D． 种
答案 D
解析 由比例分配的分层随机抽样，初中部抽取 人，高中部抽取 人。 初中部任选 人有 种方法，高中部任选 人有 种方法；两层抽样可以同时独立进行，用分步乘法计数原理，得不同的抽样结果共有 种。 故选 D。
变式一某校有高一、高二两个年级，学生共 人，其中高一 人、高二 人。现用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取 人，则不同的抽样结果共有____种。
变式二某工厂有甲、乙、丙三个车间，共有职工 人，其中甲车间 人、乙车间 人、丙车间 人。现用比例分配的分层随机抽样方法从中抽取 人，则不同的抽样结果共有____种。
465

排列与排列数公式

(1)排列：从 个不同元素中取出 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列.
(2)排列数: 从 个不同元素中取出 个元素的所有不同排列的个数, 叫做从 个不同元素中取出 个元素的排列数, 记作 .
排列数公式： ，并且
(3)全排列：把 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个元素的一个全排列. 全排列数公式： .
【提醒】正整数1到 的连乘积，叫做 的阶乘，用 表示．规定
高考真题2022·新高考Ⅱ卷·第5题单选
有甲、乙、丙、丁、戊 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（　　）
A． 种
B． 种
C． 种
D． 种
答案 B
解析 用捆绑法：把丙、丁捆绑成一个整体，与乙、戊共 个元素全排列，有 种；甲不站两端，只能插入这 个元素形成的 个中间空档，有 种；丙、丁内部还可以交换，有 种。 故不同排列方式共有 种。 故选 B。
变式一有甲、乙、丙、丁、戊 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，则不同排列方式共有多少种？
变式二有甲、乙、丙、丁、戊 名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁不相邻，则不同排列方式共有多少种？
466

组合与组合数公式

(1)组合：从 个不同元素中取出 个元素合成一组，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个组合.
(2)组合数：从 个不同元素中取出 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 个不同元素中取出 个元素的组合数，记作 。
组合数公式：
【提醒】规定：
(3)组合数的性质：① ；②
高考真题2023·全国甲卷·第9题单选
有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有 人连续参加两天服务的选择种数为（　　）
A．
B．
C．
D．
答案 B
解析 先从 人中选出连续参加两天服务的那 人，有 种选法；再从剩下 人中选 人参加星期六，有 种；再从剩下 人中选 人参加星期天，有 种。 由分步乘法计数原理，共 种。 故选 B。
变式一有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则两天中恰有 人连续参加两天服务的选择种数为多少种？
变式二有 名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选 人参加服务，则不同的人员安排共有多少种？
467

常见排列组合变形公式

(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
高考真题2023·全国乙卷·第7题单选
甲、乙两位同学从 种课外读物中各自选读 种，则这两人选读的课外读物中恰有 种相同的选法共有（　　）
A． 种
B． 种
C． 种
D． 种
答案 C
解析 先确定两人共同选读的那 种读物，有 种；再在剩下的 种读物中选出 种分别给两人（谁读哪种不同算不同选法），有 种。 由分步乘法计数原理，共 种。 故选 C。
变式一甲、乙两位同学从 种课外读物中各自选读 种，则这两人选读的课外读物完全相同的选法共有多少种？
变式二甲、乙两位同学从 种课外读物中各自选读 种，则"恰有 种相同"与"完全相同"这两类选法共有多少种？
468

常见排列、组合问题的求解方法与技巧

(1)“在”与“不在”的有限制条件的排列问题，既可以从元素入手，也可以从位置入手，原则是谁“特殊”谁优先；
(2)解决相邻问题的方法是“捆绑法”，即把相邻元素看作一个整体和其他元素一起排列，同时要注意捆绑元素的内部排列；
(3)解决不相邻问题的方法是“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中；
(4)定序问题采用“倍缩法”，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列；
(5)“小集团”排列问题中先整体后局部；分排问题直排处理；排列、组合混合问题先选后排；
(6)若某些问题从正面考虑比较复杂，可从其反面入手，即采用“间接法”.
高考真题2024·全国甲卷·第16题填空
有 个相同的球，分别标有数字 ，从中无放回地随机抽取 次，每次取 个球。记 为前两次取出的球上数字的平均值， 为取出的三个球上数字的平均值，则 与 之差的绝对值不大于 的概率为____。
答案
解析 基本事件总数为 （有序取法）。设三次取到的号码依次为 ，，，则 ，即 。 按第三个号码 分类讨论： 或 时各有 种取法； 或 时各有 种取法； 或 时各有 种取法。于是满足条件的有 种。 故所求概率 。
变式一有 个相同的球，分别标有数字 ，从中无放回地随机抽取 次，每次取 个球，记 为两次取出的球上数字的平均值，则 为整数的概率为____。
变式二有 个相同的球，分别标有数字 ，从中无放回地随机抽取 次，每次取 个球。记 为前两次取出的球上数字的平均值， 为取出的三个球上数字的平均值，则 与 之差的绝对值不大于 的概率为____。
469

分组、分配问题的求解策略

(1)不同元素分组问题属于“组合”问题
①完全均匀分组：解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以 ( 为均分的组数)，避免重复计数.
②部分均匀分组：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有 组元素个数相等，则分组时应除以 ，一个分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数.
③完全非均匀分组：分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数.
(2)不同元素分配问题属于“排列”问题：可按要求逐个分配，也可分组后再分配.
(3)相同元素(如名额)分配问题用“隔板法”: 将 n 个相同的元素分给 m 个不同的对象 ，可理解为 n-1 个空中插了 m-1 块板，有 种方法.
高考真题2023·新高考Ⅰ卷·第13题填空
某学校开设了 门体育类选修课和 门艺术类选修课，学生需从这 门课中选修 门或 门课，并且每类选修课至少选修 门，则不同的选课方案共有____种（用数字作答）。
答案 64
解析 若选修 门，则只能体育类、艺术类各选 门，有 种； 若选修 门，分两类：体育类选 门、艺术类选 门有 种；体育类选 门、艺术类选 门有 种。 由分类加法计数原理，不同的选课方案共有 种。
变式一某学校开设了 门体育类选修课和 门艺术类选修课，学生需从这 门课中选修 门或 门课，并且每类选修课至少选修 门，则不同的选课方案中体育类选修课恰选修 门的有多少种？
变式二某学校开设了 门体育类选修课、 门艺术类选修课和 门科技类选修课，学生需从这 门课中选修 门，且每类至多选修 门，则不同的选课方案共有多少种？
470

二项式定理

(1)二项式定理： ;
(2)二项展开式的通项公式： ，它表示第 项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项系数中的 .
【提醒】二项展开式中的二项式系数与项的系数的区别：二项式系数是指 ，它只与各项的项数有关，而与a,b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，也与a,b的值有关。如 的展开式中，第 项的二项式系数是 ，而项的系数是 。
高考真题2024·全国甲卷·第13题填空
的展开式中，各项系数的最大值是____。
答案 5
解析 展开式的通项为 （），故各项系数为 。 设第 项系数最大，则 且 ，即 ，得 ； ，得 。 于是 ，又 ，故 。此时系数为 。 所以各项系数的最大值是 。
变式一求 的展开式中 的系数。
变式二求 的展开式中各项系数的最大值，并指出系数最大的项是第几项。
471

求形如 二项展开式中特定项的方法

实质是考查通项 的特点，一般需要建立方程求 ，再将 的值代回通项求解，注意 的取值范围（ ）.
(1)第 m 项：此时 ，直接代入通项；
(2)常数项：令通项中“变量”的指数为0建立方程；
(3)有理项：令通项中“变量”的指数为整数建立方程；
(4)整式项：令通项中“变量”的指数为非负整数建立方程.
472

求形如 展开式的特定项相关问题步骤

展开式的特定项相关问题步骤
(1)根据二项式定理把 与 分别展开，并写出共通项；
(2)根据特定项的次数，分析特定项可由 与 的展开式中的哪些项相乘得到（如 项可由常数项与 项相乘或 项与 项相乘等得到），找出所有相乘项；
(3)把相乘后的项相加即可得到特定项，从而解决问题.
高考真题2022·新高考Ⅰ卷·第13题填空
的展开式中 的系数为____（用数字作答）。
答案 -28
解析 先写出 的通项 。 在 中， 对应 ，系数为 ； 对应 ，系数为 。 在 中， 由两部分贡献： 乘 中的 项，减去 乘 中的 项。 故所求系数为 。
变式一 的展开式中 的系数为____（用数字作答）。
变式二求 的展开式中 的系数。
473

求形如 展开式的特定项相关问题解题方法

(1)因式分解法：将三项式利用因式分解变为两个二项式相乘，然后再用二项式定理求解.
(2)逐层展开法：将三项式分成两组，用二项式定理展开，再把其中含二项式的项展开，从而求解.
(3)组合知识法：把 看成n个 的积，利用组合知识分析项的构成.
474

二项式系数的性质

(1)对称性: 在二项展开式中与首末两端 “等距离” 的两个二项式系数相等, 即 .
(2)增减性: 当 时, 二项式系数 随 的增大而增大; 当 时, 二项式系数 随 的增大而减小.
(3)最大值: 当 是偶数时, 中间一项的二项式系数 最大; 当 是奇数时, 中间两项的二项式系数 、 相等且同时取得最大.
(4)各二项式系数的和：① ；②
高考真题2024·全国甲卷·第13题改编填空
（改编自 2024·全国甲卷·第13题）在 的展开式中，设第 项的系数最大，则 ____（用数字作答）；此时系数最大的项是第____项，它的系数为____。
答案 ；第 项；系数为
解析 设各项系数 （），注意"各项系数"与"二项式系数"不同：二项式系数 关于 对称且先增后减，而各项系数还要乘 ，单调递减。 由 得 ，即 ； 由 得 ，即 。 故 ，又 ，所以 。即系数最大的是第 项，其系数为 。
变式一（改编自 2024·全国甲卷·第13题）求 的展开式中第 项的系数，并说明第 项为什么不是中间项却是系数最大项。
变式二在 的展开式中，系数最大的项是第几项？该项的系数是多少？（用二项式系数的性质与单调性求解）
475

二项展开式中项的系数问题

(1)对形如 、 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如 的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可.
(2)若 ，则 展开式中各项系数之和为 ，奇数项系数之和为 ，偶数项系数之和为 .
(3)求 的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法。设展开式各项系数分别为 ，且第 项系数最大，则用 解出 ，即可得出系数的最大项。
476

二项式定理的应用

(1)在近似计算问题中的应用: 主要应用于高次幂的近似计算, 例如: , 结合精度要求展开到需要的项.
(2)用二项式定理处理整除或余数问题: 通常把底数写成除数 (或除数的倍数) 与某数的和或差的形式, 再用二项式定理展开.
477

杨辉三角的特征

每行数字左右对称，两个腰都是由数字1组成，其余的数都等于它肩上两个数相加。杨辉三角的第 行的第 个数可以表示为 ，第 行就是 的展开式的二项式系数。把上述特征用公式表示，有 和 。
02

第七章 随机变量及其分布

18 条 · 原书 P118
478

条件概率

(1)定义: 设 为两个事件, 且 , 称 为在事件 发生的条件下, 事件 发生的条件概率.
(2)计算公式
①定义法： ；②事件个数法：
(3)性质
① ; ②如果 B 与 C 互斥，则 .
③概率的乘法公式：对于任意两个事件 A 与 B，若 ，则 .
高考真题2022·新高考Ⅰ卷·第19题（第(2)问）解答
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好　　良好 病例组　　　　 对照组　　　　 从该地的人群中任选一人， 表示事件"选到的人卫生习惯不够良好"， 表示事件"选到的人患有该疾病"，记指标 。 (ⅰ) 证明：； (ⅱ) 利用该调查数据，给出 、 的估计值，并利用 (ⅰ) 的结果给出 的估计值。
答案 (ⅰ) 证明见解析； (ⅱ) ，，
解析 (ⅰ) 由条件概率的定义 ，，，，代入得 ， 又 ，， 故 ，得证。 (ⅱ) 用样本频率估计总体条件概率：，，从而 ，， 。 即卫生习惯不够良好者的患病风险约为良好者的 倍。
变式一某班有 人，其中男生 人、女生 人；男生中有 人戴眼镜，女生中有 人戴眼镜。从该班随机抽取一人，记 表示"抽到的是男生"， 表示"抽到的人戴眼镜"，求 与 。
变式二仍用上题数据，记事件 表示"抽到的人戴眼镜"， 表示"抽到的是男生"，求 ，并比较它与 的大小。
479

相互独立事件

(1)相互独立事件的概念
对于两个事件 A, B, 如果 ，则意味着事件 A 的发生不影响事件 B 发生的概率。根据条件概率的计算公式， ，从而 。
由此可得: 设 , 为两个事件, 若 , 则称事件 与事件 相互独立.
(2)推广：事件 ， ，…， 相互独立，则 。
【提醒】如果事件 A，B 互相独立，那么 A 与 ， 与 B， 与 也都相互独立。
高考真题2022·全国乙卷·第10题单选
某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立。已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，，，且 。记该棋手连胜两盘的概率为 ，则（　　）
A． 与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关
B．该棋手在第二盘与甲比赛， 最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛， 最大
D．该棋手在第二盘与丙比赛， 最大
答案 D
解析 "连胜两盘"在 盘比赛中指"连胜第一、二盘"或"第二、三盘连胜"。 若第二盘与甲比赛，则 ；若第二盘与乙比赛，则 ；若第二盘与丙比赛，则 。（以上都用到了各盘结果相互独立时积事件概率等于积的概率。） 由 ， ， ， 故第二盘与丙比赛时 最大；同时 与比赛次序有关。 故选 D。
变式一某棋手与甲、乙两位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，该棋手与甲、乙比赛获胜的概率分别为 、（），且 。记该棋手连胜两盘的概率为 ，则（　　）
A． 与比赛次序无关
B．先与甲比赛时 最大
C．先与乙比赛时 最大
D．无法确定
变式二某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立，该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为 ，，。记该棋手连胜两盘的概率为 ，求 的最大值，并说明第二盘与谁比赛时取到。
480

全概率公式

(1)二维结论： ;
(2)一般结论：若样本空间 中的事件 , , ..., 满足:
①任意两个事件均互斥，即 ， ， ；
② ;
③
则对 中的任意事件 B，都有 ，且
481

贝叶斯公式

(1)二维结论：当 且 时，有
(2)一般结论：若样本空间 中的事件 满足：
①任意两个事件均互斥，即 ;
② ;
③
则对 中的任意概率非零的事件 B，都有 且
482

利用贝叶斯公式求概率的步骤

(1)利用全概率公式计算 ，即 ；
(2)计算 ，可利用 求解；
(3)代入 求解.
483

随机变量与离散型随机变量

(1)随机变量:对于随机试验样本空间 中的每个样本点 ，都有唯一的实数 与之对应，我们称X为随机变量．随机变量常用字母X，Y，Z， ， ，…表示.
(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量.
484

离散型随机变量的分布列

若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 ，X 取每一个值 的概率 ，以表格的形式表示如下：
X ... ...
P ... ...
我们将上表称为离散型随机变量 的概率分布列，简称为 的分布列.
【提醒】离散型随机变量的分布列的性质：
(1)
(2)
(3) .
高考真题2022·全国甲卷·第19题（第(2)问）解答
甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 分，负方得 分，没有平局。三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军。已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 ，，，各项目的比赛结果相互独立。 用 表示乙学校的总得分，求 的分布列。
答案 的分布列为：
解析 乙的总得分由乙获胜的项目数决定。记甲在三个项目中获胜的事件依次为 ，，，由各项目比赛结果相互独立得 甲赢 项的概率为 ； 甲赢 项的概率为 ； 甲赢 项的概率为 ； 甲赢 项的概率为 。 乙获胜的项目数等于 减去甲获胜的项目数，故 ，，，。
变式一仍用上题条件，用 表示甲学校的总得分，求 的分布列。
变式二仍用上题条件，求甲学校获得冠军的概率。
485

离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量 的分布列为
X ... ...
P ... ...
(1)均值（数学期望）：
(2)方差: , 有时也记为 , 并称 为随机变量 的标准差, 记为 .
【提醒】均值反映随机变量取值的平均水平；方差和标准差反映随机变量取值的离散程度.
高考真题2025·新高考Ⅰ卷·第14题填空
有 个相同的球，分别标有数字 。从中有放回地随机取 次，每次取 个球。 记 为这 个球中至少被取出 次的球的个数，则 的数学期望 ____。
答案
解析 的取值为 ，，。 （ 次取到同一个球）； （ 次取到 个不同的球）； 。 所以 。
变式一上题中，求 的值。
变式二有 个相同的球，分别标有数字 ，从中有放回地随机取 次，每次取 个球，记 为取出的 个球上数字的和，求 。
486

求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤

(1)理解随机变量 X 的意义，写出 X 可能取得的全部值.
(2)求 的每个值的概率.
(3)写出 的分布列.
(4)利用公式求均值和方差.
高考真题2022·全国甲卷·第19题改编解答
（改编自 2022·全国甲卷·第19题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 分，负方得 分，没有平局。已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 ，，，各项目的比赛结果相互独立。用 表示乙学校的总得分。 按"① 明确取值—② 求出概率—③ 列出分布列—④ 求期望与方差"的步骤，求 与 。
答案 ，
解析 ① 明确取值： 是乙获胜项目数与 的乘积，故 的取值为 ，，，； ② 求出概率：由各项目结果相互独立，逐一计算得 ，，，； ③ 列出分布列： ④ 求期望与方差： ； ； 。
变式一上题中，只用期望的线性性质求 ，并与用分布列算出的结果比较。
变式二上题中，若每个项目胜方得 分、负方得 分，用同样的方法求 与 。
487

均值与方差在决策中的应用

(1)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据。一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定。
(2)两种应用策略
①当均值不同时，两个随机变量取值的水平可见分歧，可对问题作出判断.
②若两随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度,进而进行决策.
488

两点分布（又称0-1分布、伯努利分布）

如果随机变量 的分布列为
X01
P1-pp
其中 0 < p < 1，则称离散型随机变量 X 服从两点分布，并称 为成功概率。
489

重伯努利试验

n$ 重伯努利试验
(1)只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
(2)一个伯努利试验独立地重复进行 次所组成的随机试验称为 重伯努利试验.
(3) 重伯努利试验具有如下共同特征：
①同一个伯努利试验重复做n次，“重复”意味着各次试验成功的概率相同；
②各次试验的结果相互独立.
【提醒】其实质是相互独立事件同时发生的特例.
490

二项分布

(1)在 重伯努利试验中, 设每次试验中事件 发生的概率为 , 用 表示事件 发生的次数, 则 的分布列为 .
(2)如果随机变量 的分布列具有上式的形式, 则称随机变量 服从二项分布, 记作 , 并称 为成功概率.
(3)由二项式定理，可得 。
【提醒】①两点分布是一种特殊的二项分布，即 时的二项分布。②二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的。
高考真题2025·新高考Ⅱ卷·第19题（第(1)问）解答
甲、乙两人进行乒乓球练习，每个球胜者得 分，负者得 分。设每个球甲胜的概率为 ，乙胜的概率为 ，，且各球的胜负相互独立。对正整数 ，记 为打完 个球后甲比乙至少多得 分的概率， 为打完 个球后乙比甲至少多得 分的概率。 (1) 求 ，（用 表示）。
答案 ，
解析 设甲在 个球中获胜的次数为 ，则 ，。 当 时，甲比乙至少多得 分，意味着甲至少赢 球；甲赢 球时净胜 分不合要求，只能是甲 球全胜，故 。 当 时，甲比乙至少多得 分，即甲赢 球（净胜 分）或甲赢 球（净胜 分），故 。
变式一上题中，求 ，（用 表示）。
变式二上题中，设事件 表示"打完 个球后甲比乙至少多得 分"， 表示"打完 个球后甲比乙恰好多得 分"， 表示"打完 个球后甲的得分不超过乙的得分"。用全概率公式证明：。
491

确定二项分布模型的步骤

(1)明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；
(2)确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；
(3)设 X 为 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，则 .
492

超几何分布

(1)定义: 设有 件产品, 其中有 件次品. 从中任取 件产品, 用 表示取出的 件产品中次品的件数, 那么 ( ). 即
X01...m
P ...
其中 ，且 .
如果一个随机变量 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 服从超几何分布.
(2)适用范围：①考察对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数 的概率分布；④不放回抽样，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的。【提醒】注意区别“二项分布”与“超几何分布”：有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理。
高考真题2022·全国乙卷·第13题填空
从甲、乙等 名同学中随机选 名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____。
答案
解析 这是超几何分布模型：总体容量 ，其中"成功"（甲、乙）个体数 ，抽取 人。 总的抽法有 种；甲、乙都入选时，第 人只能从其余 人中任选 人，有 种。 故所求概率 。
变式一从甲、乙等 名同学中随机选 名参加社区服务工作，则甲、乙恰有 人入选的概率为____。
变式二从甲、乙等 名同学中随机选 名参加社区服务工作，甲、乙都不入选的概率为____。
493

均值与方差的性质结论

(1) （C为常数）； .
(2) ， 为常数).
(3)若 服从两点分布，则 .
(4)若 服从二项分布，即 ，则 ， .
(5)若 服从参数 的超几何分布，则 .
(6)如果 相互独立，则 。
(7)
494

正态曲线

(1)正态曲线：函数 ， （其中 是样本均值， 是样本标准差）图象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线。
(2)正态曲线的性质
①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线 对称；
③曲线在 处达到峰值（最大值） ;
xyO¾=0:5¹=¡1¹=0¹=1¡2¡112
甲
xyO¹=0¾=0:5¾=1¾=2¡3¡2¡1123
乙
④曲线与x轴之间的面积为1;
⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；
⑥当 一定时，曲线的形状由 确定， 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中； 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示.
高考真题2024·新高考Ⅰ卷·第9题多选
为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 ，样本方差 ，已知该种植区以往的亩收入 服从正态分布 ，假设推动出口后的亩收入 服从正态分布 ，则（　　） （若随机变量 服从正态分布 ，）
A．
B．
C．
D．
答案 B、C
解析 正态曲线关于对称轴 对称，把非标准正态量标准化后即可查用已知概率。 对 ：， 故 成立（B 对）， 不成立（A 错）。 对 ：， 故 成立（C 对）， 不成立（D 错）。 故选 B、C。
变式一上题中，求 与 的值。
变式二上题中，若把推动出口后的亩收入改为 ，试判断 与 的大小关系，并说明理由。
495

正态分布

(1)定义: 如果对于任何实数 , 随机变量 满足 （即 , 正态曲线及 轴围成的曲边梯形的面积），则称随机变量 服从正态分布，记作 . 特别地，当 时，称随机变量 服从标准正态分布.
【提醒】参数 是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计； 是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.
(2)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
① ;
② ；
③ .
(3) 原则: 由 , 在此区间以外取值的概率只有 0.0026, 通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件。在实际应用中，通常认为服从于正态分布 的随机变量 只取 之间的值，并简称之为 原则。
(4)正态分布中概率值的求解转化
①
②
③若 ，则
【提醒】解题时应充分利用正态曲线的对称性（在关于 对称的区间上概率相同）和曲线与 轴之间面积为1.
高考真题2022·新高考Ⅱ卷·第13题填空
已知随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 ____。
答案 0.14
解析 正态曲线关于直线 对称，所以 。 又 ，故 。
变式一已知 ，且 ，求 。
变式二已知 ，且 ，求 。
03

第八章 成对数据的统计分析

14 条 · 原书 P123
496

变量的相关关系

(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.
【提醒】相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系.
(2)散点图（相关关系的刻画）：将样本中的 n 个数据点 描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图.
高考真题2022·全国乙卷·第19题（第(1)(3)问）解答
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山。为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据： 样本号 　　　　　　　　　　　总和 根部横截面积 　　　　　　　　　　　 材积量 　　　　　　　　　　　 并计算得 ，，。 (1) 估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量； (2) 现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 。已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值。
答案 (1) 平均一棵的根部横截面积约为 ，平均一棵的材积量约为 ； (2) 总材积量约为
解析 (1) 由样本平均数 ，，用样本平均数估计总体平均数，得平均一棵的根部横截面积约为 ，平均一棵的材积量约为 。 (2) 设该林区这种树木的总材积量的估计值为 。由材积量与根部横截面积近似成正比，得 ，即 。 所以该林区这种树木的总材积量估计为 。
变式一根据上题的数据，判断树木的根部横截面积与材积量之间是正相关还是负相关，并说明理由。
变式二上题中，若该林区所有这种树木的根部横截面积总和改为 ，求总材积量的估计值。
497

相关关系按变量间的增减性分类

(1)正相关：从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，就称这两个变量正相关；其散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，如图（1）所示.
xyO
(1)
xyO
(2)
(2)负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则称这两个变量负相关；其散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，如图（2）所示.
498

相关关系按变量间是否有线性特征分类

(1)线性相关: 如果两个变量的取值呈现正相关或负相关, 而且散点落在一条直线附近, 则称这两个变量线性相关;
(2)非线性相关或曲线相关：如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，则称这两个变量非线性相关或曲线相关.
499

样本相关系数

若相应于变量 的取值 ，变量 的观测值为 ，则
变量 与 的相关系数
通常用 r 来衡量 x 与 y 之间的线性关系的强弱，r 的范围为 .
(1)当 时，表示两个变量正相关；当 时，表示两个变量负相关.
(2) 越接近1，表示两个变量的线性相关性越强； 越接近0，表示两个变量间几乎不存在线性相关关系．当 时，所有数据点都在一条直线上.
(3)通常当 时，认为两个变量具有很强的线性相关关系.
高考真题2022·全国乙卷·第19题（第(2)问）解答
（数据同前题）某林区 棵树木的根部横截面积与材积量的样本数据如下： 样本号 　　　　　　　　　　　总和 根部横截面积 　　　　　　　　　　　 材积量 　　　　　　　　　　　 并计算得 ，，。 求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 ）。 附：相关系数 。
答案
解析 由数据得 ，。 ； ； 。 所以 。 接近 ，说明根部横截面积与材积量之间有很强的线性相关关系。
变式一上题中，若只用前 棵树的数据计算样本相关系数，结果一定仍等于 吗？
变式二若某样本的相关系数 ，能否说明两个变量之间不存在线性相关关系？能否说明两个变量之间不存在相关关系？
500

一元线性回归模型

(1)定义：称 为 关于 的一元线性回归模型.
其中 称为因变量或响应变量， 称为自变量或解释变量， 称为截距参数， 称为斜率参数； 是 与 之间的随机误差。如果 ，那么 与 之间的关系就可以用一元线性函数模型来描述。
(2)最小二乘法：将 称为 Y 关于 x 的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的 叫做 b, a 的最小二乘估计.
501

线性回归

(1)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线.
(2)对于一组具有线性相关关系的数据 ， ，…，
其回归直线方程 的求法为
【提醒】回归直线 必过样本点的中心 ( ). 其中， ， .
502

求线性回归方程的基本步骤

(1)先把数据制成表，从表中计算出 、 ， 、 （或 、 ）的值；
(2)根据公式计算回归系数 ;
(3)写出线性回归方程 .
【提醒】平均数是整数时直接计算 、 计算量会小一些.
高考真题2022·全国乙卷·第19题改编解答
（改编自 2022·全国乙卷·第19题）某林区 棵树木的根部横截面积与材积量的样本数据如下： 样本号 　　　　　　　　　　　总和 根部横截面积 　　　　　　　　　　　 材积量 　　　　　　　　　　　 并计算得 ，，。 (1) 求 ，； (2) 求回归直线 的斜率 与截距 ，并写出回归方程； (3) 当根部横截面积为 时，估计材积量。
答案 (1) ，； (2) ，，回归方程为 ； (3)
解析 ① 求样本平均数：，； ② 求斜率：； ③ 求截距：回归直线必过点 ，故 ，回归方程为 ； ④ 代入估计： 时 ，故材积量约为 。
变式一上题中，用回归直线 估计根部横截面积为 的树木的材积量，结果约为多少？
变式二上题中，若认为材积量与根部横截面积近似成正比（回归直线过原点），用最小二乘法求出比例系数 ，并估计横截面积为 时的材积量。
503

残差分析

(1)残差: 对于预报变量 , 通过观测得到的数据称为观测值 , 通过回归方程得到的 称为预测值, 观测值减去预测值等于残差, 称为相应于点 的残差, 即有 .
(2)残差分析：残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.
(3)刻画回归效果的三种方法
①残差图法：相应于点 的残差 ，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内说明选用的模型比较合适；
②残差平方和法：残差平方和 越小，模型的拟合效果越好.
③决定系数（相关指数）法： 越接近1，表明回归的效果越好；
504

求非线性回归方程的步骤

(1)确定变量，作出散点图；
(2)根据散点图，选择恰当的非线性回归方程类型；
(3)变量置换，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；
(4)按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；
(5)消去新元，得到非线性回归方程；
(6)得出结果后分析残差图是否有异常．（题目未要求时本步骤可省略）
505

常见的非线性回归模型

(1)指数函数型 （ 且 ）
两边取自然对数， ，即
令 ，原方程变为 ，然后按线性回归模型求出 ， 。
令 ，原方程变为 ，然后按线性回归模型求出 ， 。
两边取常用对数， ，即
令 ，原方程变为 ，然后按线性回归模型求出 ， 。
(4)二次函数型 令 ，原方程变为 ，然后按线性回归模型求出 .
506

独立性检验

利用 的取值推断分类变量 X 和 Y 是否独立的方法称为 独立性检验，读作 “卡方独立性检验”，简称独立性检验.
高考真题2025·新高考Ⅰ卷·第15题解答
为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了 人，得到如下列联表： 组别　　正常　　不正常　　合计 患该疾病　　　　　　 未患该疾病　　　　　　 合计　　　　　　 (1) 记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为 ，求 的估计值； (2) 根据小概率值 的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关。 附：　　　；　　　
答案 (1) 的估计值为 ； (2) 超声波检查结果与患该疾病有关。
解析 (1) 检查结果不正常的 人中有 人患病，用频率估计概率得 。 (2) 提出零假设 ：超声波检查结果与是否患该疾病无关。 由 ，其中 ，，，，，得 。 因为 ，而 ，所以拒绝 ，即认为超声波检查结果与患该疾病有关，该推断犯错误的概率不超过 。
变式一上题中，若显著性水平取 ，能否有 的把握认为超声波检查结果与患该疾病有关？
变式二上题中，如果抽查人数由 人增加到 人，而各格频数都按比例扩大（关系不变），则 统计量的值约为原来的多少倍？
507

独立性检验中几个常见的小概率值和相应的临界值

独立性检验中几个常见的小概率值和相应的临界值
0.10.050.010.0050.001
2.7063.8416.6357.87910.828
【举例】对于小概率值 ，有如下的具体检验规则：
(1)当 时，我们推断 不成立，即认为 和 不独立，该推断犯错误的概率不超过0.05；
(2)当 时，我们没有充分证据推断 不成立，可以认为 和 独立.
高考真题2024·全国甲卷·第17题（理）解答
某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取 件进行检验，数据如下： 优级品　　合格品　　不合格品　　总计 甲车间　　　　　　　　 乙车间　　　　　　　　 总计　　　　　　　　 (1) 填写如下列联表：优级品／非优级品　甲车间／乙车间／合计； (2) 能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？ 附：，　　　；　　　
答案 列联表为：优级品／非优级品——甲车间 ／（合计 ），乙车间 ／（合计 ），合计 ／（总计 ）。 有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异；没有 的把握认为优级品率存在差异。
解析 (1) 非优级品数 = 合格品数 + 不合格品数：甲车间 ，乙车间 ，合计 ，故列联表如上。 (2) 取 ，，，，，则 。 因为 ，而 ，所以有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，但没有 的把握认为优级品率存在差异。
变式一上题中，若显著性水平取 ，能否有 的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？
变式二写出独立性检验中常用的三个小概率值及相应的临界值：、、 时临界值分别是多少？临界值随 怎样变化？
508

应用独立性检验解决实际问题的步骤

(1)提出零假设 ： 和 相互独立，并给出在问题中的解释.
(2)根据抽样数据整理出 列联表
总计
ab
cd
总计
(3)计算 的值： ，其中 为样本容量.
(4)用 值与临界值 比较，并根据检验规则得出推断结论.
(5)在 和 不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析 和 间的影响规律.
高考真题2022·新高考Ⅰ卷·第19题（第(1)问）解答
一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了 例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了 人（称为对照组），得到如下数据： 不够良好　　良好　　合计 病例组　　　　　　 对照组　　　　　　 合计　　　　　　 附：　　　；　　　 (1) 能否有 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
答案 能。有 的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异。
解析 应用独立性检验解决实际问题的一般步骤：① 提出零假设；② 补充列联表；③ 由公式计算统计量；④ 与给定显著性水平对应的临界值比较，作出判断。 本例中补充列联表后，取 ，，，，，得 。 因为 ，且 ，所以 ，故有 的把握认为两群体的卫生习惯有差异。
变式一上题中，能否有 的把握认为两群体的卫生习惯有差异？
变式二上题中，若对照组中"卫生习惯不够良好"的人数由 人增加到 人，重新补充列联表、计算 并作判断（）。
509

独立性检验与反证法的相同与不同

(1)反证法是在某种假设 之下，推出一个矛盾结论，从而证明 不成立；而独立性检验是在零假设 之下，如果出现一个与 相矛盾的小概率事件，就推断 不成立，且该推断犯错误的概率不大于这个小概率.
(3)独立性检验的本质是比较观测值和期望值之间的差异，由 所代表的这种差异的大小是通过确定适当的小概率值进行判断的.
(2)在全部逻辑推理正确的情况下，反证法不会犯错误，但独立性检验会犯随机性错误.
陆继霜 肖德梦 胡 静 顾德成 张有美
周涵钟莎 周宗国 杨青松